PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .
Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.
Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD : CD = 1 : 3. Найдите площадь четырехугольника EDCK.
Высоты остроугольного треугольника ABC, проведенные из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B1 и C1. Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : 1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.
Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 49°, 69° и 62°.
Диагонали четырехугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M. Известно, что 
= 72°, 
= 102°, 
= 110°. Найдите 
Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 28.
Длина катета AC прямоугольного треугольника ABC равна 8 см. Окружность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что 
На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?
В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырехугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36.
В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции 
и 
Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 
Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.
Прямая, параллельная основаниям AD и BC трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и 
соответственно. Найдите длину отрезка EF, если 
Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.
Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в ее середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.
Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в ее середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.
Три окружности с центрами O1, O2 и O3 и радиусами 2,5, 0,5 и 4,5 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол O1O2O3.
Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.
Две окружности с центрами O1 и O3 и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром O2 радиусом 7,5. Найдите угол O1O2O3.
Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 17 и MB = 19. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
В треугольнике ABC угол B равен 120°, а длина стороны AB на 
меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC.
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64°.
Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.
Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 16 и 48, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Стороны AC, AB, BC треугольника ABC 
и 1
Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40 : 1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 30.
Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке B. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку B, пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке A. Найдите радиус второй окружности, если 
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите 
если 
В окружности с центром в точке O проведены две хорды AB и CD. Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в точке M, лежащей вне окружности. При этом 
Найдите OM.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, проведена биссектриса угла A. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведенный к стороне BC в точке K. Найдите угол BCK, если известно, что угол ACB равен 40°.
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 8, катет BC равен 15. Найдите радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы треугольника и касается прямой BC.
На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 12, BC = 18 и CD = 8.
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 3 : 7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади треугольника ABC.
Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 56.
Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 7:10. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади треугольника ABC.
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 12, а средняя линия равна 10.
тогда 
так как 
по свойству биссектрисы. Значит, 
Пусть S — площадь треугольника ABC, тогда 
Из прямоугольного треугольника LCO: 
Рассмотрим прямоугольный треугольник CAM, углы BAC и ACC1 равны, значит, 
У треугольников ABK и ABM высота, проведенная к стороне BM, общая, поэтому площади этих треугольников относятся как их основания BK и BM, откуда: 
а так как PN = CN, получаем, что 
откуда 
Аналогично получаем, что 
и 
и 
как углы между касательной и радиусом, проведенным в точку касания. Тогда
и 
= 102° − x; 
x = 
+ 32°.
= 72°; 
Тогда:
и 
получаем, что HKOL — параллелограмм, следовательно, углы KHL и KOL равны. Рассмотрим треугольники ABC и EBF, угол EBF — общий, углы BEF и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, углы BFE и BCA — аналогично, следовательно, треугольники ABC и BEF подобны по двум углам. Откуда 
Аналогично подобны треугольники ABD и AEH, откуда 
Пусть сторона ромба равна a, а длина короткой диагонали равна d. Сложим два полученных уравнения:
Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними:
и 
Поэтому гипотенуза 
По теореме Пифагора: 
откуда 
откуда получаем:
следовательно, треугольники ABC и DCB равны. Так как AB = 
треугольники ABC и DCB равнобедренные, следовательно, BH и CE — соответствующие медианы этих треугольников. Значит, 
Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, следовательно, 
и прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому, BCEH — трапеция. Проведем HM — высоту трапеции BCEH и AN — высоту трапеции ABCD. Прямоугольные треугольники ANC и HMC подобны, значит, 
откуда
тогда 
Отрезок KL делит трапецию ABCD на два четырехугольника равной площади, тогда 
откуда
откуда
Проведем отрезок KL, делящий трапецию на две равновеликие трапеции и обозначим его длину x. Проведем из вершины C высоту CH и отрезок CE, параллельный стороне AB. Точки пересечения этих отрезков с отрезком KL назовем M и N соответственно. Из условия следует, что 
Следовательно, 
и 
получаем: 
и 
Так как тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем: 
Тогда 
а гипотенуза 
по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:
а 
Так как 
то 
а 
по теореме Пифагора. 
и D лежат на окружности радиуса 4. Примем сторону ромба за х, а величину угла BAC за 
и 
Получаем уравнение 
Следовательно, сторона ромба равна 4,8.
как вертикальные;
как внутренние накрест лежащие углы при 
и секущей BD. Имеем:
— общий;
как соответственные углы при 
и секущей AB:
Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:
Рассмотрим треугольник ABM: AK — биссектриса, следовательно:
Выразим площадь треугольника BPK:
Аналогично в треугольнике OKM имеем: 
Теперь рассмотрим треугольник MBK: сумма его углов равна 180°, поэтому
имеем:
они прямоугольные, имеют общий катет, а катеты BK и KC равны. Следовательно, эти треугольники равны, а значит, 
следовательно, точка M — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Тогда 
Треугольник CMA равнобедренный с углом 30°, следовательно, угол при основании 
Сумма острых углов прямоугольного треугольника ABC равна 90°, поэтому 
Треугольник ABD — равнобедренный, его высота BC, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Следовательно, площадь треугольника ABD равна удвоенной площади треугольника ABC и равна 36. Площадь треугольника ABD равна 
Тогда из уравнения 
получаем, что 
откуда 
Тогда из уравнения 
откуда 
Следовательно, длины ломаных ACK и ABK равны полупериметру p. По условию 
Следовательно, треугольники MBK, AMP, KPC — равнобедренные, поэтому в каждом треугольнике углы при основании равны. Угол MPK — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол BMK образован хордой и касательной, следовательно, он равен половине величины дуги, которую заключает. Значит, 
Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол ABC:
Рассмотрим треугольник ABM: AK — биссектриса, следовательно:
Выразим площадь треугольника BPK:
Прямоугольные треугольники ANO и AMQ подобны с коэффициентом 3, значит,
откуда 
; 
следовательно, угол BAK равен 30 градусов, а угол BAC равен 60 градусов. Следовательно, треугольник ABC равносторонний, и центр описанной вокруг него окружности совпадает с центром вписанной в него окружности. Таким образом, точки S и O совпадут.
Применяя теорему косинусов в треугольнике ABC имеем: 
Рассмотрим треугольник ACE. Прямая CO — биссектриса, по свойству биссектрисы:
и 
а точки касания, с общей касательной, не проходящей через точку B, за M и N. Прямоугольные треугольники 
и 
равны по катету и гипотенузе. Аналогично, равны треугольники 
и 
Значит, прямые 
и 
являются биссектрисами углов 
и 
соответственно. Прямые 
и 
параллельны, поэтому сумма углов 
равна 90°, то есть треугольник 
—
тогда 
Далее 
так как они опираются на одну дугу окружности, следовательно, 
В четырехугольнике BKDE имеем: 
середину отрезка AB, а точкой L середину отрезка CD. Поскольку треугольники AOB и COD равнобедренные, OK и OL перпендикулярны AB и CD соответственно. Отрезок AB равен
Четырехугольник OKML является прямоугольником, поэтому
как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, а отсюда AL — биссектриса 
Но это означает, что точка L совпадает с точкой K, то есть с точкой пересечения серединного перпендикуляра к BC и биссектрисой 
как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. 
Четырехугольник ACLB — вписанный, поэтому 
то есть 
— это накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей AB. 
Коэффициент подобия равен 
Значит, 
и 
Таким образом, 
— длина средней линии. Проведем высоту CH и проведем прямую CE, параллельную 
Рассмотрим четырехугольник 
следовательно, BCED — параллелограмм, откуда 
Рассмотрим треугольник ACE, 
Пусть p — полупериметр треугольника 
Найдем площадь треугольника ACE по формуле Герона:
Из условия известно, что 
Следовательно, 
и 
Сложим два полученных уравнения:
По свойству биссектрисы AP имеем: 
Из условия задачи известно, что 
следовательно,
Рассмотрим треугольник ACE, 
