математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 26 № 314829

На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 2 м, а длин­ное плечо — 6 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 0,5 м?

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Здесь AC — по­ло­же­ние «журавля» до опускания, BD — по­ло­же­ние после опускания, AH — высота, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча, CK — высота, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длинного.

В рав­но­бед­рен­ных треугольниках AOB и COD углы AOB и COD, про­ти­во­ле­жа­щие основаниям, равны как вертикальные, по­это­му равны и углы при их основаниях. Тем самым, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, и

 

 

Накрест ле­жа­щие углы 1 и 2, об­ра­зо­ван­ные при пе­ре­се­че­нии секущей BD пря­мых AB и CD, равны, по­это­му пря­мые AB и CD параллельны. Тогда сто­ро­ны углов 3 и 4 по­пар­но па­рал­лель­ны, а значит, эти углы равны.

Следовательно, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AHB и CDK подобны, по­сколь­ку имеют рав­ные ост­рые углы. Имеем:

 

 

Ответ: 1,5.

 

Примечание 1.

Можно при­ве­сти не­сколь­ко иное до­ка­за­тель­ство по­до­бия тре­уголь­ни­ков и . На приведённой ниже кар­тин­ке есть два ма­лень­ких тре­уголь­ни­ка обо­зна­чен­ные и Они пря­мо­уголь­ные и одна пара углов равна друг другу как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных прямых. Поэтому они подобны.

Затем, можно заметить, что у тре­уголь­ни­ков и со­от­вет­ствен­ные углы равны друг другу (по­то­му, что их сто­ро­ны параллельны), следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны. Ана­ло­гич­но с тре­уголь­ни­ка­ми и Из трёх пар по­до­бий этих тре­уголь­ни­ков следует, что тре­уголь­ни­ки и подобны.

 

 

Примечание 2.

Однажды это задание было предложено на репетиционном экзамене в качестве задания 15. Видимо, составители варианта (и, наверное, авторы из ФИПИ) хотели создать задание, аналогичное простому заданию о шлагбауме (посмотреть). Но в задаче со шлагбаумом в условии дан рисунок, из которого можно понять, что авторы понимают под словами «конец плеча поднимется на высоту». В этой задаче с колодцем рисунка в условии нет, поэтому понимать ее иначе, чем написано в решении, некорректно.

Источник: Банк заданий ФИПИ