Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны»  — верно по при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

2)  «Вер­ти­каль­ные углы равны»  — верно, это тео­ре­ма пла­ни­мет­рии.

3)  «Любая бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной»  — не­вер­но, это утвер­жде­ние спра­вед­ли­во толь­ко для рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 12.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков в учеб­ни­ке гео­мет­рии сфор­му­ли­ро­ван так: «если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум углам дру­го­го, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны». В утвер­жде­нии номер 1 опу­ще­но слово «со­от­вет­ствен­но», что не ме­ня­ет сути.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что и и про­ве­рим все ва­ри­ан­ты от­ве­та:

1)   — верно, по­сколь­ку каж­дое сла­га­е­мое от­ри­ца­тель­но.

2)  Из сле­ду­ет, что   — верно.

3)   — верно, по­сколь­ку а

4)  Из сле­ду­ет, что   — не­вер­но.

Ответ: 4.

При­ме­ча­ние.

Не­труд­но за­ме­тить, что спра­вед­ли­вы ра­вен­ства и

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части»  — верно по свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка.

2)  «В любом пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­на­ли вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны»  — не­вер­но, это утвер­жде­ние спра­вед­ли­во толь­ко для пря­мо­уголь­ни­ка, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны равны, то есть для квад­ра­та.

3)  «Для точки, ле­жа­щей на окруж­но­сти, рас­сто­я­ние до цен­тра окруж­но­сти равно ра­ди­у­су»  — верно, т. к. окруж­ность  — мно­же­ство точек, на­хо­дя­щих­ся на за­дан­ном рас­сто­я­нии от дан­ной точки.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Цен­тры впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка сов­па­да­ют»  — верно, т. к. сов­па­да­ют точки пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис и се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров этого тре­уголь­ни­ка.

2)  «Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся ром­бом»  — не­вер­но; вер­ным будет утвер­жде­ние: «Су­ще­ству­ет ромб, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся квад­ра­том».

3)  «Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180°»  — верно по свой­ству тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Во­круг лю­бо­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность»  — верно, по свой­ству тре­уголь­ни­ка.

2)  «Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то этот па­рал­ле­ло­грамм  — квад­рат»  — верно; из всех па­рал­ле­ло­грам­мов толь­ко в квад­ра­те диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны од­но­вре­мен­но.

3)  «Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию сред­ней линии на вы­со­ту»  — верно, по свой­ству тра­пе­ции.

Ответ: 123.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной»  — не­вер­но, вер­ным будет утвер­жде­ние «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной».

2)  «Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны»  — верно, по свой­ству пря­мо­уголь­ни­ка.

3)  «У любой тра­пе­ции бо­ко­вые сто­ро­ны равны»  — не­вер­но, т. к. бо­ко­вые сто­ро­ны равны толь­ко у рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой на­крест ле­жа­щие углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны»  — верно,по при­зна­ку па­рал­лель­ных пря­мых.

2)  «Диа­го­наль тра­пе­ции делит ее на два рав­ных тре­уголь­ни­ка»  — не­вер­но; вер­ным будет утвер­жде­ние: «Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его на два рав­ных тре­уголь­ни­ка».

3)  «Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб  — квад­рат»  — верно, т. к. если один из углов ромба равен 90°, то и осталь­ные равны 90°.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма равны»  — не­вер­но, если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм  — пря­мо­уголь­ник, т. е. не у каж­до­го па­рал­ле­ло­грам­ма диа­го­на­ли равны.

2)  «Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию его сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этой сто­ро­не»  — верно, ромб  — част­ный слу­чай па­рал­ле­ло­грам­ма, а пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна a · h.

3)  «Если две сто­ро­ны и угол од­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам и углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны»  — не­вер­но, нет та­ко­го при­зна­ка ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков. При­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков зву­чит так: «Если две сто­ро­ны и угол между ними од­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам и углу между ними дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны».

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов»  — верно, для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

2)  «В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке все углы тупые»  — не­вер­но: в ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один тупой и два ост­рых угла.

3)  «Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ее ос­но­ва­ний»  — верно.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны»  — не­вер­но: та­ко­го при­зна­ка ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков нет.

2)  «Сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на ее ос­но­ва­ни­ям»  — верно, по тео­ре­ме о сред­ней линии тра­пе­ции она па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям и равна их по­лу­сум­ме.

3)  «Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов»  — верно, для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Точка ка­са­ния двух окруж­но­стей рав­но­уда­ле­на от цен­тров этих окруж­но­стей»  — не­вер­но: точка ка­са­ния двух окруж­но­стей уда­ле­на от цен­тра на ве­ли­чи­ну ра­ди­у­са каж­дой окруж­но­сти.

2)  «В па­рал­ле­ло­грам­ме есть два рав­ных угла»  — верно, в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны.

3)  «Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин его ка­те­тов»  — не­вер­но: пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин его ка­те­тов.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов»  — верно, сумма всех углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, зна­чит, мень­ший угол в тре­уголь­ни­ке не более 60°. Сле­до­ва­тель­но, в любом тре­уголь­ни­ке есть угол, не пре­вы­ша­ю­щий 60 гра­ду­сов, а зна­чит, один из углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов.

2)  «Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам»  — не­вер­но.

3)  «Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой»  — верно.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет»  — верно, сто­ро­на тре­уголь­ни­ка не может быть боль­ше суммы двух дру­гих.

2)  «Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 360 гра­ду­сам»  — не­вер­но, сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам.

3)  «Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре его опи­сан­ной окруж­но­сти»  — верно, центр опи­сан­ной окруж­но­сти лежит в точке пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. 1)  «Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет»  — верно, боль­шая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка долж­на быть мень­ше суммы двух дру­гих.

2)  «Смеж­ные углы равны»  — не­вер­но, смеж­ные углы и свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем:

3)  «Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой»  — верно.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. 1)  «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную этой пря­мой»  — верно, это ак­си­о­ма пла­ни­мет­рии.

2)  «Если сто­ро­ны од­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­нам дру­го­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, то такие че­ты­рех­уголь­ни­ки равны»  — не­вер­но: на­при­мер, могут быть квад­рат и ромб с рав­ной дли­ной сто­ро­ны.

3)  «Смеж­ные углы равны»  — не­вер­но, смеж­ные углы и свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Пло­щадь квад­ра­та равна про­из­ве­де­нию двух его смеж­ных сто­рон - верно, со­глас­но фор­му­ле

2.  Диа­го­наль тра­пе­ции делит ее на два рав­ных тре­уголь­ни­ка - не­вер­но (хотя бы в слу­чае пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции)

3.  Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны - не­вер­но, так как не со­от­вет­ству­ют ни од­но­му из при­зна­ков ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков.

Ответ: 1

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Все углы ромба равны»  — не­вер­но. Верно толь­ко в слу­чае квад­ра­та.

2)  «Если сто­ро­ны од­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­нам дру­го­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, то такие че­ты­рех­уголь­ни­ки равны»  — не­вер­но. Сто­ро­ны квад­ра­та и ромба могут быть равны, од­на­ко такие че­ты­рех­уголь­ни­ки не равны.

3)  «Через любую точку, ле­жа­щую вне окруж­но­сти, можно про­ве­сти две ка­са­тель­ные к этой окруж­но­сти»  — верно.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Утвер­жде­ние не­вер­но, так как сумма смеж­ных углов равна 180°, сле­до­ва­тель­но, если один из углов пря­мой, то смеж­ный ему будет тоже пря­мой.

2.  Утвер­жде­ние верно, со­глас­но фор­му­ле пло­ща­ди квад­ра­та:

3.  Утвер­жде­ние не­вер­но, так как длина хорды за­ви­сит от ее уда­лен­но­сти от цен­тра окруж­но­сти.

Ответ: 2

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов - верно по свой­ству тре­уголь­ни­ков.

2.  Любой пря­мо­уголь­ник можно впи­сать в окруж­ность - верно, вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать в окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда сумма про­ти­во­по­лож­ных углов этого че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°, а в любом пря­мо­уголь­ни­ке сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°.

3.  Через за­дан­ную точку плос­ко­сти можно про­ве­сти толь­ко одну пря­мую - не­вер­но, можно про­ве­сти бес­ко­неч­ное ко­ли­че­ство пря­мых.

Ответ: 12

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка - не­вер­но

2.  Сумма углов рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам - верно для лю­бо­го тре­уголь­ни­ка.

3.  Диа­го­на­ли ромба равны - не­вер­но, диа­го­на­ли у ромба равны толь­ко в част­ном слу­чае ромба - квад­ра­те.

Ответ: 2

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Все хорды одной окруж­но­сти равны между собой - не­вер­но, так как длина хорды за­ви­сит от ее уда­лен­но­сти от цен­тра окруж­но­сти.

2.  Диа­го­наль рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции делит ее на два рав­ных тре­уголь­ни­ка - не­вер­но, тре­уголь­ни­ки не равны

3.  Сумма углов рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам - верно, сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам

Ответ: 3

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Вер­ти­каль­ные углы равны - верно, со­глас­но опре­де­ле­нию вер­ти­каль­ных углов.

2.  Две пря­мые, па­рал­лель­ные тре­тьей пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ны - не­вер­но, две пря­мые, па­рал­лель­ные тре­тьей пря­мой, па­рал­лель­ны.

3.  Диа­го­на­ли лю­бо­го пря­мо­уголь­ни­ка делят его на че­ты­ре рав­ных тре­уголь­ни­ка - не­вер­но, так как верно толь­ко для част­но­го слу­чая пря­мо­уголь­ни­ка - квад­ра­та.

Ответ: 1

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Все квад­ра­ты имеют рав­ные пло­ща­ди - не­вер­но, так как длины сто­рон могут от­ли­чать­ся.

2.  Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны - не­вер­но.

3.  Через любую точку, ле­жа­щую вне окруж­но­сти, можно про­ве­сти две ка­са­тель­ные к этой окруж­но­сти - верно.

Ответ: 3

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию его сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этой сто­ро­не»  — верно, так как ромб  — это част­ный слу­чай па­рал­ле­ло­грам­ма и его пло­щадь есть про­из­ве­де­ние его сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этой сто­ро­не.

2)  «Бо­ко­вые сто­ро­ны любой тра­пе­ции равны»  — не­вер­но, бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны.

3)  «Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов»  — верно, наи­мень­ший угол в любом тре­уголь­ни­ке все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов.

Ответ: 13

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов - верно по свой­ству лю­бо­го тре­уголь­ни­ка.

2.  Если точка лежит на бис­сек­три­се угла, то она рав­но­уда­ле­на от сто­рон этого угла - верно по свой­ству бис­сек­три­сы.

3.  Если диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом - не­вер­но, так как диа­го­на­ли ромба в общем слу­чае не равны.

Ответ: 12

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Все углы ромба равны - не­вер­но, так как у ромба равны сто­ро­ны, а не углы.

2.  Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр окруж­но­сти, пря­мой - верно со­глас­но свой­ству впи­сан­ных углов.

3.  Если две сто­ро­ны и угол од­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам и углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны - не­вер­но, если две сто­ро­ны и угол между ними од­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам и углу между ними дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

Ответ: 2

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов»  — верно, наи­мень­ший угол в любом тре­уголь­ни­ке все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов.

2)  «Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию его сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этой сто­ро­не»  — верно, так как ромб - част­ный слу­чай па­рал­ле­ло­грам­ма.

3)  «Две пря­мые, па­рал­лель­ные тре­тьей пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ны»  — не­вер­но, две пря­мые, па­рал­лель­ные тре­тьей пря­мой, па­рал­лель­ны.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей - не­вер­но, пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей на синус угла между ними.

2.  Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам - не­вер­но, сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180°

3.  Бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, ко­то­рая яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник - верно по свой­ству тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 3

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам - верно, так как сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сов, пря­мой угол равен 90 гра­ду­сам, сле­до­ва­тель­но, сумма остав­ших­ся остры углов тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сов.

2.  Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме ее ос­но­ва­ний - не­вер­но, сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ее ос­но­ва­ний.

3.  В любой че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность - не­вер­но, это, как ми­ни­мум, дол­жен быть вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник.

Ответ: 1

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет - верно, так как по свой­ству тре­уголь­ни­ка длина одной из сто­рон тре­уголь­ни­ка не долж­на пре­вы­шать суммы двух дру­гих сто­рон тре­уголь­ни­ка

2.  Ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка делит по­по­лам угол, из вер­ши­ны ко­то­ро­го про­ве­де­на - не­вер­но, ме­ди­а­на делит по­по­лам сто­ро­ну, к ко­то­рой она про­ве­де­на.

3.  Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой - верно, так как у окруж­но­сти за­дан­ное зна­че­ние диа­мет­ра.

Ответ: 13

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам  — верно.

2.  Угол, впи­сан­ный в окруж­ность, равен со­от­вет­ству­ю­ще­му цен­траль­но­му углу, опи­ра­ю­ще­му­ся на ту же дугу  — не­вер­но, т. к. угол, впи­сан­ный в окруж­ность, равен по­ло­ви­не со­от­вет­ству­ю­ще­го цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу.

3.  Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся, если ра­ди­ус одной окруж­но­сти боль­ше ра­ди­у­са дру­гой окруж­но­сти  — не­вер­но, две окруж­но­сти могут пе­ре­се­кать­ся, если их ра­ди­у­сы равны.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин его ка­те­тов  — не­вер­но, пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин его ка­те­тов.

2.  Су­ще­ству­ет пря­мо­уголь­ник, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны  — верно.

3.  Если сто­ро­ны од­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­нам дру­го­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, то такие че­ты­рех­уголь­ни­ки равны  — не­вер­но, т. к. нет та­ко­го при­зна­ка ра­вен­ства че­ты­рех­уголь­ни­ков.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Диа­го­наль тра­пе­ции делит ее на два рав­ных тре­уголь­ни­ка»  — не­вер­но; вер­ным будет утвер­жде­ние: «Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его на два рав­ных тре­уголь­ни­ка».

2)  «Ко­си­нус остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен от­но­ше­нию ги­по­те­ну­зы к при­ле­жа­ще­му к этому углу ка­те­ту»  — не­вер­но; вер­ным будет утвер­жде­ние: «Ко­си­нус остро­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен от­но­ше­нию при­ле­жа­ще­го к этому углу ка­те­та к ги­по­те­ну­зе».

3)  «Рас­сто­я­ние от точки, ле­жа­щей на окруж­но­сти, до цен­тра окруж­но­сти равно ра­ди­у­су»  — верно по опре­де­ле­нию

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Су­ще­ству­ют три пря­мые, ко­то­рые про­хо­дят через одну точку»  — верно, так как через одну точку на плос­ко­сти можно про­ве­сти бес­ко­неч­ное ко­ли­че­ство пря­мых.

2)  «Бо­ко­вые сто­ро­ны любой тра­пе­ции равны»  — не­вер­но, бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны.

3)  «Сумма углов рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам»  — верно, сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам»  — верно по свой­ству ромба.

2)  «В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке все углы тупые»  — не­вер­но, так как в ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке толь­ко один угол  — тупой.

3)  «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его вы­со­той»  — не­вер­но, вер­ным будет яв­лять­ся утвер­жде­ние: «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его вы­со­той».

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Все вы­со­ты рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равны»  — верно, так как в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все вы­со­ты равны между собой.

2)  «Угол, впи­сан­ный в окруж­ность, равен со­от­вет­ству­ю­ще­му цен­траль­но­му углу, опи­ра­ю­ще­му­ся на ту же дугу»  — не­вер­но, так как угол, впи­сан­ный в окруж­ность, равен по­ло­ви­не со­от­вет­ству­ю­ще­го цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу.

3)  «В любой ромб можно впи­сать окруж­ность»  — верно, так как суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон ромба равны.

Ответ: 13.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое утвер­жде­ние.

1)  «Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам.»  — не­вер­но, у тра­пе­ции диа­го­на­ли не де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам.

2)  «Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей.»  — не­вер­но, пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту.

3)  «Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр окруж­но­сти,  — пря­мой.»  — верно.

Таким об­ра­зом, ис­тин­ное вы­ска­зы­ва­ние ука­за­но под но­ме­ром 3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое утвер­жде­ние.

1)  «Бо­ко­вые сто­ро­ны любой тра­пе­ции равны.»  — не­вер­но, по­сколь­ку бо­ко­вые сто­ро­ны у тра­пе­ции не обя­за­ны быть равны.

2)  «Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин его смеж­ных сто­рон.»  — верно.

3)  «Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка.»  — не­вер­но, по­сколь­ку центр опи­сан­ной окруж­но­сти может ле­жать вне тре­уголь­ни­ка.

Таким об­ра­зом, ис­тин­ное вы­ска­зы­ва­ние ука­за­но под но­ме­ром 2.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим каж­дое утвер­жде­ние.

1)  «Если диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся квад­ра­том.»  — не­вер­но, по­сколь­ку па­рал­ле­ло­грамм с рав­ны­ми диа­го­на­ля­ми обя­за­тель­но яв­ля­ет­ся квад­ра­том, он может быть и пря­мо­уголь­ни­ком.

2)  «Сумма углов рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам.»  — верно.

3)  «Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния тра­пе­ции на вы­со­ту.»  — не­вер­но, пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.

Таким об­ра­зом, ис­тин­ное вы­ска­зы­ва­ние ука­за­но под но­ме­ром 2.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если три угла од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны трем углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны»   — верно, по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков. За­ме­тим, что со­глас­но пер­во­му при­зна­ку по­до­бия, до­ста­точ­но ра­вен­ства двух углов тре­уголь­ни­ков, но если равны все три угла, то ра­вен­ство двух углов обя­за­тель­но вы­пол­не­но.

2)  «Диа­го­на­ли ромба равны.»  — не­вер­но.

3)  «Тан­генс лю­бо­го остро­го угла мень­ше еди­ни­цы.»  — не­вер­но, тан­генс остро­го угла при­ни­ма­ет любые зна­че­ния.

Ответ: 1.