PDF-версии: 1. Тип Д36 C4 № 324759 
Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники
Геометрические задачи на вычисление. Разные задачи
i
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC = 40.
Решение. По определению параллелограмма прямая BC параллельная прямой AD, отрезок AE — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы BEA и EAD равны как накрест лежащие. Поскольку
треугольник ABE — равнобедренный, откуда 
Аналогично, треугольник CED — равнобедренный и 
Стороны AB и CD равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно:
Ответ: 20.
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: 20.
324759
20.
Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники
Углы APK и KPC — смежные, значит, 
Из приведенных равенств, получаем, что углы KBC и APK равны. Рассмотрим треугольники ABC и AKP, угол A — общий, углы APK и KBC равны, то есть треугольники подобны, откуда 
Используя равенство 
найдем KP:
то другая сторона равна 
тогда площадь равна
и 
Значит, 
тогда 
поэтому четырехугольник ABLC — вписанный. Тогда 
Из 
ВКС: ∠КСВ = 180° − 125° − 20° = 35°.
и 
соответственно. Найдите длину отрезка AB, если 
см, 
см.
по двум углам: 
как вертикальные; 
как внутренние накрест лежащие углы при 
и секущей MK.
по двум углам: 
— общий; 
как соответственные при 
и секущей MN. 
см.
см.
см.
и 
Найдите площадь трапеции.
поэтому AD и BC являются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции. Тогда треугольники AOD и BOC подобны по двум углам, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия k. Поэтому 
Поскольку треугольники ABO и CBO имеют общую высоту, проведенную из вершины 
отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е. 
Значит, 
тогда 
Катет, лежащий напротив в угла в 
равен половине гипотенузы, тогда 
Так как 
по условию, а HK=BC=CD, то 
Треугольники ABH и DCK равны по двум катетам, следовательно, трапеция ABCD — равнобедренная. Таким образом, АВ=2, AD=4, BH=
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, следовательно
и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.
Аналогично отрезок KE — средняя линия треугольника ABD, поэтому прямая KE параллельна прямой AD и 
отрезок PH — средняя линия треугольника DAC, поэтому прямая PH параллельна прямой AD и 
отрезок PE — средняя линия треугольника BDC, поэтому прямая PE параллельна прямой BC и 
Отсюда заключаем, что в четырехугольнике KHPE стороны попарно параллельны и равны, поэтому четырехугольник KHPE — параллелограмм. Прямая KH параллельна прямой BC, прямая KE параллельна прямой AD, а прямая BC перпендикулярна прямой AD, поэтому прямая KH перпендикулярна прямой KE. Следовательно, параллелограмм KHPE — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, 
Определим длину отрезка MN через координаты его концов: 
Следовательно, искомая длина равна 1 метру.
и 
этой трапеции пересекаются в точке 
биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка KE равна 28.
и E — точки пересечения биссектрис внешних углов трапеции ABCD, значит, 
и E — равноудалены от параллельных прямых AD и BC. (Точка 
и AB, и равноудалена от сторон угла 
и RA, т. к. лежит на биссектрисах соответствующих углов). 
(KN — медиана, проведенная к гипотенузе).
(ME — медиана, проведенная к гипотенузе). 
Поскольку 
то треугольник PCD — равнобедренный. Угол при вершине этого треугольника равен 60°, следовательно, углы при основании равны 
значит, треугольник PCD — равносторонний. Угол BCP равен 
Аналогично получаем, что треугольник BCP — равносторонний. Найдем угол 
Аналогично двум предыдущим треугольникам получаем, что треугольник ABP — равносторонний. Получили, что площадь трапеции равна сумме площадей трех равных равносторонних треугольников со стороной a = 1:
AE — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы BEA и EAD равны как накрест лежащие. Поскольку 
Таким образом, 
Отрезок BM — медиана, поэтому 
Таким образом, 
значит, 
Возьмем на продолжении за точку M отрезка BM точку D такую, что 
Треугольники ABM и CDM равны по двум сторонам и углу между ними, то есть 
Следовательно, в прямоугольном треугольнике BDC угол CBD равен 30°, то есть 
и 
высота AK пересекает высоту BH в точке M, причем 
Треугольники AHM, BKM и BHC подобны, поскольку они прямоугольные и первые два имеют равные углы (углы AMH и BMK равны как вертикальные), а вторые два имеют общий угол. Получаем пропорцию 
то есть 
откуда 
и 