СДАМ ГИА: РЕШУ ОГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика
математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 24 № 311711

В вы­пук­лом четырёхугольнике длина отрезка, со­еди­ня­ю­ще­го се­ре­ди­ны сто­рон и , равна од­но­му метру. Пря­мые и перпендикулярны. Най­ди­те длину отрезка, со­еди­ня­ю­ще­го се­ре­ди­ны диа­го­на­лей и .

Решение.

Пусть точка K — середина AB, точка P — середина CD, точка H — середина диагонали AC, точка E — середина диагонали BD. Тогда KH — средняя линия треугольника ABC, поэтому KH параллельно BC и . Аналогично получаем: KE — средняя линия треугольника ABD, поэтому KE параллельно AD и ; PH — средняя линия треугольника DAC, поэтому PH параллельно AD и ; PE — средняя линия треугольника BDC, поэтому PE параллельно BC и . Отсюда заключаем, что в четырёхугольнике KHPE стороны попарно параллельны и попарно равны, поэтому KHPE — параллелограмм. А так как KH параллельно BC, KE параллельно AD, а BC перпендикулярно AD, то и KH перпендикулярно KE. Поэтому KHPE — прямоугольник. А так как диагонали прямоугольника равны, то метру.

 

Ответ: 1 метр.

 

Приведём решение методом координат.

Пусть сторона BC лежит на оси Ox, а сторона AD лежит на оси Oy. Найдем координаты вершин четырехугольника:

Пусть M — середина AB, и N — середина CD. По формуле нахождения координат середины отрезков, найдем координаты точек M и N: Определим длину отрезка MN через координаты его концов:

Пусть точки P и Q — середины диагоналей AC и BD. Аналогично получаем:

Тема самым, что Следовательно, искомая длина равна 1 метру.

Источник: Тренировочные работы. Иркутск — 2013, вариант 2.