СДАМ ГИА: РЕШУ ОГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика
математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 24 № 311711

В вы­пук­лом четырёхугольнике длина отрезка, со­еди­ня­ю­ще­го се­ре­ди­ны сто­рон и , равна од­но­му метру. Пря­мые и перпендикулярны. Най­ди­те длину отрезка, со­еди­ня­ю­ще­го се­ре­ди­ны диа­го­на­лей и .

Решение.

Пусть точка — се­ре­ди­на , точка — се­ре­ди­на , точка — се­ре­ди­на диа­го­на­ли , точка — се­ре­ди­на диа­го­на­ли . Тогда — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му па­рал­лель­но и . Ана­ло­гич­но получаем: — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му па­рал­лель­но и ; — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му па­рал­лель­но и ; — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му па­рал­лель­но и . От­сю­да заключаем, что в четырёхугольнике сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны и по­пар­но равны, по­это­му — параллелограмм. А так как па­рал­лель­но па­рал­лель­но , а пер­пен­ди­ку­ляр­но , то и пер­пен­ди­ку­ляр­но . По­это­му — прямоугольник. А так как диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны, то метру.


Ответ: 1 метр.

 

Приведём решение методом координат.

Пусть сторона BC лежит на оси Ox, а сторона AD лежит на оси Oy. Найдем координаты вершин четырехугольника:

Пусть M — середина AB, и N — середина CD. По формуле нахождения координат середины отрезков, найдем координаты точек M и N: Определим длину отрезка MN через координаты его концов:

Пусть точки P и Q — середины диагоналей AC и BD. Аналогично получаем:

Тема самым, что Следовательно, искомая длина равна 1 метру.

Источник: Тренировочные работы. Иркутск — 2013, вариант 2.