В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна одному метру. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.
Пусть точка K — середина стороны AB, точка P — середина стороны CD, точка H — середина диагонали AC, точка E — середина диагонали BD. Тогда отрезок KH — средняя линия треугольника ABC, поэтому прямая KH параллельна прямой BC и 
Аналогично отрезок KE — средняя линия треугольника ABD, поэтому прямая KE параллельна прямой AD и 
отрезок PH — средняя линия треугольника DAC, поэтому прямая PH параллельна прямой AD и 
отрезок PE — средняя линия треугольника BDC, поэтому прямая PE параллельна прямой BC и 
Отсюда заключаем, что в четырехугольнике KHPE стороны попарно параллельны и равны, поэтому четырехугольник KHPE — параллелограмм. Прямая KH параллельна прямой BC, прямая KE параллельна прямой AD, а прямая BC перпендикулярна прямой AD, поэтому прямая KH перпендикулярна прямой KE. Следовательно, параллелограмм KHPE — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, 
Ответ: 1 метр.
Приведем решение методом координат.
Пусть сторона BC лежит на оси Ox, а сторона AD лежит на оси Oy. Найдем координаты вершин четырехугольника: 
Пусть точка M — середина стороны AB и точка N — середина стороны CD. По формуле нахождения координат середины отрезков, найдем координаты точек M и N: 
Определим длину отрезка MN через координаты его концов: 
Пусть точки P и Q — середины диагоналей AC и BD. Для этих точек получаем:
Тем самым, 
Следовательно, искомая длина равна 1 метру.