Найдите площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
Пусть дан четырехугольник ABCD, точка O — середина стороны AB, точка K — середина стороны BC, точка P — середина стороны CD, точка H — середина стороны DA. Проведем диагонали AC, BD и отрезки OK, KP, PH, HO, последовательно соединяющие середины сторон четырехугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки OK и PH параллельны диагонали AC и равны ее половине, а отрезки KP и HO параллельны диагонали BD и равны ее половине. Следовательно, четырехугольник OKPH — параллелограмм. По условию задачи его диагонали KH и OP равны, поэтому четырехугольник OKPH — прямоугольник, и угол OKP — прямой. Отсюда следует, что угол между диагоналями AC и BD является прямым, и, следовательно, площадь четырехугольника ABCD будет равна половине произведения его диагоналей, 
Ответ: 20.