математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 24 № 311717

Каждое ос­но­ва­ние и тра­пе­ции про­дол­же­но в обе стороны. Бис­сек­три­сы внешних углов и этой тра­пе­ции пересекаются в точке , бис­сек­три­сы внешних углов и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те периметр тра­пе­ции , если длина от­рез­ка равна 28.

Решение.

Углы и — од­но­сто­рон­ние при па­рал­лель­ных прямых и и се­ку­щей . Зна­чит их сумма равна 180°.

— бис­сек­три­са угла ; .

— бис­сек­три­са угла ; .

Тогда сумма углов и равна 90°, зна­чит треугольник — прямоугольный. Аналогично, тре­уголь­ник — прямоугольный. Точки и — точки пе­ре­се­че­ния биссектрис внеш­них углов тра­пе­ции , значит, и — рав­но­уда­ле­ны от па­рал­лель­ных прямых и . (Точка рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла и , и рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла и , т. к. лежит на бис­сек­три­сах соответствующих углов).

Таким образом, пря­мая па­рал­лель­на прямым и , и по тео­ре­ме Фалеса точки и , се­ре­ди­ны сторон и и — сред­няя линия тра­пе­ции (по определению).

Из пря­мо­уголь­но­го треугольника , ( — медиана, про­ве­ден­ная к гипотенузе). Из пря­мо­уголь­но­го треугольника , ( — медиана, про­ве­ден­ная к гипотенузе.

Значит, пе­ри­метр трапеции равен 56.


Ответ: 56.


Аналоги к заданию № 311717: 311718 Все

Источник: Пробный экзамен. Санкт-Петербург — 2013, вариант 1.