Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов 
и 
этой трапеции пересекаются в точке 
биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка KE равна 28.
Углы OBA и RAB — односторонние при параллельных прямых AD и BC и секущей AB. Значит, их сумма равна 180°.
BK — биссектриса угла OBA; 
AK — биссектриса угла RAB; 
Тогда сумма углов KAB и KBA равна 90°, значит, треугольник KBA — прямоугольный. Аналогично, треугольник CED — прямоугольный. Точки 
и E — точки пересечения биссектрис внешних углов трапеции ABCD, значит, 
и E — равноудалены от параллельных прямых AD и BC. (Точка равноудалена от сторон угла 
и AB, и равноудалена от сторон угла 
и RA, т. к. лежит на биссектрисах соответствующих углов).
Таким образом, прямая KE параллельна прямым AD и BC, и по теореме Фалеса точки M и N, середины сторон AB и CD и MN — средняя линия трапеции (по определению).
Из прямоугольного треугольника KBA, 
(KN — медиана, проведенная к гипотенузе).
Из прямоугольного треугольника CDE, 
(ME — медиана, проведенная к гипотенузе).
Значит, периметр трапеции ABCD равен 56.
Ответ: 56.
Приведем решение Дмитрия.
Отметим на прямой AD точки R и Q, как показано на рисунке.
Углы AOB и OAR равны как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей. Углы OAR и OAB равны, поскольку AO является биссектрисой. Следовательно, углы AOB и OAB равны, тогда треугольник ABO —равнобедренный, OB = AB. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой, следовательно, точка K — середина OA.
Аналогично CP = CD и точка E — середина PD.
Тогда KE — средняя линия трапеции OADP.
Найдем периметр трапеции ABCD:
