Углы OBA и RAB  — од­но­сто­рон­ние при па­рал­лель­ных пря­мых AD и BC и се­ку­щей AB. Зна­чит, их сумма равна 180°.

BK  — бис­сек­три­са угла OBA;

AK  — бис­сек­три­са угла RAB;

Тогда сумма углов KAB и KBA равна 90°, зна­чит, тре­уголь­ник KBA  — пря­мо­уголь­ный. Ана­ло­гич­но, тре­уголь­ник CED  — пря­мо­уголь­ный. Точки и E  — точки пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис внеш­них углов тра­пе­ции ABCD, зна­чит, и E  — рав­но­уда­ле­ны от па­рал­лель­ных пря­мых AD и BC. (Точка рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла и AB, и рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла и RA, т. к. лежит на бис­сек­три­сах со­от­вет­ству­ю­щих углов).

Таким об­ра­зом, пря­мая KE па­рал­лель­на пря­мым AD и BC, и по тео­ре­ме Фа­ле­са точки M и N, се­ре­ди­ны сто­рон AB и CD и MN  — сред­няя линия тра­пе­ции (по опре­де­ле­нию).

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KBA, (KN  — ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе).

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CDE, (ME  — ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе).

Зна­чит, пе­ри­метр тра­пе­ции ABCD равен 56.

Ответ: 56.

При­ве­дем ре­ше­ние Дмит­рия.

От­ме­тим на пря­мой AD точки R и Q, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

Углы AOB и OAR равны как на­крес­тле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей. Углы OAR и OAB равны, по­сколь­ку AO яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой. Сле­до­ва­тель­но, углы AOB и OAB равны, тогда тре­уголь­ник ABO  —рав­но­бед­рен­ный, OB  =  AB. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бис­сек­три­са, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, яв­ля­ет­ся также ме­ди­а­ной, сле­до­ва­тель­но, точка K  — се­ре­ди­на OA.

Ана­ло­гич­но CP  =  CD и точка E  — се­ре­ди­на PD.

Тогда KE  — сред­няя линия тра­пе­ции OADP.

Най­дем пе­ри­метр тра­пе­ции ABCD:

Углы OBA и KAB  — од­но­сто­рон­ние при па­рал­лель­ных пря­мых AD и BC и се­ку­щей AB. Зна­чит, их сумма равна 180°.

BP  — бис­сек­три­са угла OBA;

AP  — бис­сек­три­са угла KAB;

Тогда сумма углов PAB и PBA равна 90°, зна­чит, тре­уголь­ник PBA  — пря­мо­уголь­ный. Ана­ло­гич­но, тре­уголь­ник CRD – пря­мо­уголь­ный.

Точки и R  — точки пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис внеш­них углов тра­пе­ции ABCD, зна­чит, и R  — рав­но­уда­ле­ны от па­рал­лель­ных пря­мых AD и BC. (Точка рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла и AB, и рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла и KA, т. к. лежит на бис­сек­три­сах со­от­вет­ству­ю­щих углов).

Таким об­ра­зом, пря­мая PR па­рал­лель­на пря­мым AD и BC, и по тео­ре­ме Фа­ле­са точки M и N, се­ре­ди­ны сто­рон AB и CD и MN  — сред­няя линия тра­пе­ции (по опре­де­ле­нию).

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка PBA, (PN  — ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе). Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CDR, (MR  — ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе).

Зна­чит, пе­ри­метр тра­пе­ции ABCD равен 48.

Ответ: 48.