1.
i
Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56.
Найдите площадь трапеции.
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56.
Найдите площадь трапеции.
Решение. Трапеция равнобедренная, значит,
и 
Тогда,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Получен верный обоснованный ответ | 2 |
| При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Основания трапеции равны 9 и 15. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Решение. Пусть в трапеции ABCD основания BC = 9 , AD = 15 . Обозначим середину диагонали AC через N , середину диагонали BD через M , а середину стороны CD через K.
Тогда NK — средняя линия треугольника ACD, MK — средняя линия треугольника BCD. Значит, точки N, M и K лежат на одной прямой. Длина средней линии треугольника равна половине основания, поэтому NM = NK − MK = 7,5 − 4,5 = 3.
Ответ: 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC = 40.
Решение. По определению параллелограмма прямая BC параллельная прямой AD, отрезок AE — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы BEA и EAD равны как накрест лежащие. Поскольку
треугольник ABE — равнобедренный, откуда 
Аналогично, треугольник CED — равнобедренный и 
Стороны AB и CD равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно:
Ответ: 20.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Пусть диагональ AC равна 76. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим треугольник AOH, он прямоугольный, найдем синус угла
следовательно, угол OAH равен 30°. Рассмотрим треугольники AOB и AOD, они прямоугольные, AO — общая, 
следовательно, эти треугольники равны, откуда 
поэтому 
Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180°, откуда 
Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.
Примечание Ильи Колодия.
Для нахождения угла BAD можно воспользоваться свойством ромба: диагонали ромба делят его углы пополам. Следовательно, ∠BAD = 2 · ∠OAH.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Получен верный обоснованный ответ | 2 |
| При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Угол ODC и CAH равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники COD и ACH, они прямоугольные, углы ODC и CAH равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда
Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам: 
Получаем:
Из прямоугольного треугольника ACH, используя теорему Пифагора найдем 
Ответ: 20.
Приведем другое решение.
Длина стороны ромба равна CD = DH + CH = 21 + 8 = 29. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ADH:
Ответ: 20.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 32.
Решение. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° , значит,
Получаем, что треугольник ABF прямоугольный с прямым углом F . По теореме Пифагора находим AB:
Ответ: 40.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь этого прямоугольника.
Решение. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a. Тогда другая сторона равна 28 − a, а площадь a(28 − a). По теореме Пифагора:
Значит, искомая площадь равна 27,5.
Ответ: 27,5.
Приведем другое решение.
Пусть одна из сторон прямоугольника равна a. Тогда другая сторона равна 28 − a, а площадь a(28 − a). По теореме Пифагора:
Заметим, что если одна сторона равна 
то другая сторона равна 
тогда площадь равна
Заметим, что такое решение связано с трудоемкими вычислениями, поэтому более рациональным является способ, представленный в основном решении.
Приведем еще одно решение.
Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, а другая b, тогда площадь равна ab. Получим систему уравнений:
Приведем решение Артема Глебова.
Пусть одна из сторон прямоугольника равна a. Тогда другая сторона равна 28 − a, а площадь a(28 − a). По теореме Пифагора:
Корнями этого уравнения являются длины смежных сторон прямоугольника. По теореме Виета произведение корней равно 27,5. Произведение двух смежных сторон — это площадь прямоугольника, следовательно, площадь равна 27,5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Получен верный обоснованный ответ | 2 |
| При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны MN и KP в точках 
и 
соответственно. Найдите длину отрезка AB, если 
см, 
см.
Решение. 1)
по двум углам:
а) 
как вертикальные;
б) 
как внутренние накрест лежащие углы при 
и секущей MK.
по двум углам: а) 
— общий;
б) 
как соответственные при 
и секущей MN.
см.
3) Аналогично 
см.
4) 
см.
Ответ: 30 см.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 
и 
Найдите площадь трапеции.
Решение. По условию
поэтому AD и BC являются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции. Тогда треугольники AOD и BOC подобны по двум углам, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия k. Поэтому 
Поскольку треугольники ABO и CBO имеют общую высоту, проведенную из вершины 
отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е. 
Значит, 
Площади треугольников ABD и ACD равны, так как эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты, проведенные к этому основанию, равны как высоты трапеции, следовательно,
Поэтому и 
Ответ: 
Примечание.
Учащиеся, изучающие геометрию углубленно, могут решить задачу в один шаг:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.
Решение. Опустим перпендикуляры BH и CK на большее основания AD. По условию
тогда 
Катет, лежащий напротив в угла в 
равен половине гипотенузы, тогда 
Так как 
по условию, а HK=BC=CD, то 
Треугольники ABH и DCK равны по двум катетам, следовательно, трапеция ABCD — равнобедренная. Таким образом, АВ=2, AD=4, BH=
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, следовательно
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна одному метру. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.
Решение. Пусть точка K — середина AB, точка P — середина CD, точка H — середина диагонали AC, точка E — середина диагонали BD. Тогда KH — средняя линия треугольника ABC, поэтому KH параллельно BC и
Аналогично получаем: KE — средняя линия треугольника ABD, поэтому KE параллельно AD и 
PH — средняя линия треугольника DAC, поэтому PH параллельно AD и 
PE — средняя линия треугольника BDC, поэтому PE параллельно BC и 
Отсюда заключаем, что в четырехугольнике KHPE стороны попарно параллельны и попарно равны, поэтому KHPE — параллелограмм. А так как KH параллельно BC, KE параллельно AD, а BC перпендикулярно AD, то и KH перпендикулярно KE. Поэтому KHPE — прямоугольник. А так как диагонали прямоугольника равны, то 
метру.
Ответ: 1 метр.
Приведем решение методом координат.
Пусть сторона BC лежит на оси Ox, а сторона AD лежит на оси Oy. Найдем координаты вершин четырехугольника:
Пусть M — середина AB, и N — середина CD. По формуле нахождения координат середины отрезков, найдем координаты точек M и N: 
Определим длину отрезка MN через координаты его концов: 
Пусть точки P и Q — середины диагоналей AC и BD. Аналогично получаем: 
Тема самым, что 
Следовательно, искомая длина равна 1 метру.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов 
и 
этой трапеции пересекаются в точке 
биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка KE равна 28.
Решение. Углы OBA и RAB — односторонние при параллельных прямых AD и BC и секущей AB. Значит, их сумма равна 180°.
BK — биссектриса угла OBA; 
AK — биссектриса угла RAB; 
Тогда сумма углов KAB и KBA равна 90°, значит, треугольник KBA — прямоугольный. Аналогично, треугольник CED — прямоугольный. Точки 
и E — точки пересечения биссектрис внешних углов трапеции ABCD, значит, 
и E — равноудалены от параллельных прямых AD и BC. (Точка равноудалена от сторон угла 
и AB, и равноудалена от сторон угла 
и RA, т. к. лежит на биссектрисах соответствующих углов).
Таким образом, прямая KE параллельна прямым AD и BC, и по теореме Фалеса точки M и N, середины сторон AB и CD и MN — средняя линия трапеции (по определению).
Из прямоугольного треугольника KBA, 
(KN — медиана, проведенная к гипотенузе).
Из прямоугольного треугольника CDE, 
(ME — медиана, проведенная к гипотенузе).
Значит, периметр трапеции ABCD равен 56.
Ответ: 56.
Приведем решение Дмитрия.
Отметим на прямой AD точки R и Q, как показано на рисунке.
Углы AOB и OAR равны как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей. Углы OAR и OAB равны, поскольку AO является биссектрисой. Следовательно, углы AOB и OAB равны, тогда треугольник ABO —равнобедренный, OB = AB. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой, следовательно, точка K — середина OA.
Аналогично CP = CD и точка E — середина PD.
Тогда KE — средняя линия трапеции OADP.
Найдем периметр трапеции ABCD:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Найдите площадь выпуклого четырехугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
Решение. Пусть ABCD — данный четырехугольник, O — середина стороны
— середина стороны 
— середина стороны 
— середина стороны DA. Проведем диагонали AC и BD и отрезки 
и HO, последовательно соединяющие середины сторон четырехугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки OK и PH параллельны диагонали AC и равны ее половине, а отрезки KP и HO параллельны диагонали BD и равны ее половине. Поэтому OKPH — параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали KH и OP равны, то OKPH — прямоугольник, и угол OKP— прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями AC и BD тоже прямой, и, следовательно, площадь четырехугольника ABCD будет равна половине произведения его диагоналей, то есть 
Ответ: 20.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 1. Найдите площадь трапеции.
Решение. Пусть точка P — середина стороны
Поскольку 
то треугольник PCD — равнобедренный. Угол при вершине этого треугольника равен 60°, следовательно, углы при основании равны 
значит, треугольник PCD — равносторонний. Угол BCP равен 
Аналогично получаем, что треугольник BCP — равносторонний. Найдем угол 
Аналогично двум предыдущим треугольникам получаем, что треугольник ABP — равносторонний. Получили, что площадь трапеции равна сумме площадей трех равных равносторонних треугольников со стороной a = 1:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB = 34.
Решение. По определению параллелограмма
AE — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы BEA и EAD равны как накрест лежащие. Поскольку треугольник ABE — равнобедренный, откуда Аналогично, треугольник CED — равнобедренный и Стороны AB и CD равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно, 
Таким образом, 
Ответ: 68.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Получен верный обоснованный ответ | 2 |
| При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведенная к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.
Решение. Так как AB = CD, то трапеция является равнобедренной. Опустим перпендикуляр BL из точки B на большее основание AD. Прямоугольные треугольники ABL и CHD равны по гипотенузе и прилежащему острому углу, поэтому AL = HD. Средняя линия равна полусумме оснований:
Так как AL = HD, имеем: 
значит, 
Ответ: HD = 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Получен верный обоснованный ответ | 2 |
| При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Основания трапеции равны 16 и 34. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Решение. Пусть в трапеции ABCD с основаниями BC = 16 и AD = 34. Обозначим середину диагонали AC через N, середину диагонали BD через M, а середину стороны CD через K.
Тогда NK — средняя линия треугольника ACD, MK — средняя линия треугольника BCD, значит, точки N, M и K лежат на одной прямой. Длина средней линии треугольника равна половине стороны, параллельной ей, то есть MK = BC/2 = 8, NK = AD/2 = 17, и NM = NK − MK = 9.
Ответ: 9.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке 
Найдите площадь параллелограмма ABCD, если 
а 
Решение. Накрест лежащие углы BEA и EAD равны, AE — биссектриса угла BAD, следовательно,
Значит, треугольник BEA равнобедренный и 
По формуле площади параллелограмма находим
Ответ: 35.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, поскольку АК — биссектриса, сторона AK — общая, следовательно, треугольники равны. Тогда 
Аналогично, равны треугольники BKH и BKM, откуда 
Найдем площадь параллелограмма как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне :
Ответ: 266.
Приведем примечание Натальи Лаховой.
Для доказательства равенства отрезков KH, KN и KM можно воспользоваться свойством биссектрисы угла: точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Получен верный обоснованный ответ | 2 |
| При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.
Решение. Пусть
— длина средней линии. Проведем высоту CH и проведем прямую CE, параллельную 
Рассмотрим четырехугольник 
следовательно, BCED — параллелограмм, откуда 
Рассмотрим треугольник ACE, 
Пусть p — полупериметр треугольника 
Найдем площадь треугольника ACE по формуле Герона:
Выразим площадь треугольника ACE как произведение основания AE на высоту CH, откуда найдем 
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму длин оснований: 
Ответ: 42.
Примечание.
Можно не искать высоту трапеции, а заметить, что площади треугольников ABC и CDE равны, так как соответственно равны их основания BC и DE и высоты проведенные к этим основаниям. Тогда 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 150°, а CD = 33.
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Проведем высоты CH и
В трапеции сумма смежных углов при боковой стороне равна 180°, поэтому 
Из прямоугольного треугольника CHD найдем сторону
Углы ABC и BAK равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Высоты CH и BK равны. Из прямоугольного треугольника ABK найдем AB:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 15.
Решение. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, значит,
Получаем, что треугольник ABF прямоугольный с прямым углом F . По теореме Пифагора находим AB:
Ответ: 25.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 12, а средняя линия равна 10.
Решение. Пусть
— длина средней линии. Проведем высоту CH и проведем прямую CE, параллельную BD. Рассмотрим четырехугольник следовательно, BCED — параллелограмм, откуда 
Рассмотрим треугольник ACE, Пусть p — полупериметр треугольника ACE. Найдем площадь треугольника ACE по формуле Герона:
Выразим площадь треугольника ACE как произведение основания AE на высоту CH, откуда найдем
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований:
Ответ: 96.
Примечание.
Решение можно сократить, заметив, что треугольник ACE является прямоугольным, и его площадь равна площади трапеции ABCD. Действительно, в силу равенства
по теореме, обратной теореме Пифагора, заключаем, что треугольник ACE прямоугольный. Тогда площадь треугольника находится как полупроизведение катетов:
Далее, треугольник ACE имеет общую высоту с трапецией, а его основание AE есть сумма оснований трапеции. Таким образом, найденная площадь данного треугольника равна искомой площади трапеции.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 6, CK = 10.
Решение. Накрест лежащие углы BKA и KAD равны, AK — биссектриса угла BAD, следовательно,
Значит, треугольник BKA равнобедренный и 
Длина стороны BC равна сумме длин BK и CK, следовательно, равна 16. Найдем периметр параллелограмма:
Ответ: 44.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 311249 | |
| 2 | 311828 | 3. |
| 3 | 324759 | 20. |
| 4 | 324778 | 60°, 60°, 120°, 120°. |
| 5 | 324788 | 20. |
| 6 | 324798 | 40. |
| 7 | 311566 | 27,5. |
| 8 | 311671 | 30 см. |
| 9 | 311666 | |
| 10 | 182 | |
| 11 | 311711 | 1 метр. |
| 12 | 311717 | 56. |
| 13 | 311712 | 20. |
| 14 | 314867 | |
| 15 | 339611 | 68 |
| 16 | 128 | HD = 12. |
| 17 | 311860 | 9. |
| 18 | 316359 | 35. |
| 19 | 339709 | 266. |
| 20 | 339619 | 42. |
| 21 | 351992 | |
| 22 | 352568 | 25 |
| 23 | 353511 | 96 |
| 24 | 438304 | 44. |