Комбинация многоугольников и окружностей
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Основание 
равнобедренного треугольника 
равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания в его середине . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник .
— центр данной окружности, а 
— центр окружности, вписанной в треугольник 
окружностей делит 
и 
— биссектрисы смежных углов, значит, угол 
прямой. Из прямоугольного треугольника 
Аналоги к заданию № 52: 311550 311556 311697 314823 314827 314941 314960 314971 314972 314973 ... Все
— центр окружности, вписанной в треугольник 
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому 
— биссектрисы. Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора найдём 
и 
равны как радиусы вписанной в треугольник 
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы 
и 
равны, 
Аналогично из равенства треугольников 
и 
получаем 
а из равенства треугольников 
и 
— 
Площадь треугольника 
равно 
, 
равно 
углы 
равны, следовательно, треугольники 
равны. Поэтому площадь треугольника 
проходит через центр описанной окружности, следовательно, 
и 
— вписанные и опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны. Из прямоугольного треугольника 
Из прямоугольного треугольника 
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
углы 
и 
равны, значит 
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Поскольку тангенс угла BAC равен 
получаем, что, 
Значит, 
откуда r = 204.
(см. рисунок). Тогда
, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке 
= 72°, 
= 102°, 
= 110°. Найдите 
.
.
= 180° − 110° = 70°;
= 102° − x; 
+ 102° − x = 70°; x = 
= 72°; 
; 
.
см, 
см и 
см. Поэтому гипотенуза 
см. По теореме Пифагора: 
.
.
, откуда 
. 
.
.
.Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 
. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
и 
. Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем: 
Тогда 
а гипотенуза 
по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:
а 
Так как 
то 
а 
по теореме Пифагора. 
Аналоги к заданию № 130: 314862 315107 315130 339504 339868 339876 339897 339965 339995 340006 ... Все
и 
ромба 
лежат на окружности радиуса 4. Примем сторону ромба за 
, а величину угла 
. 
.
: 
.
и 
. Получаем уравнение 
.
. Следовательно, сторона ромба равна 4,8.Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.
таким образом, треугольник BNM — прямоугольный. Так как MN — средняя линия, то она параллельна AB, тогда треугольник ABC — прямоугольный. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, таким образом, радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности равен 2.
— он равнобедренный, следовательно, 
. Аналогично в треугольнике 
имеем: 
Теперь рассмотрим треугольник 
: сумма его углов равна 180°, поэтому
имеем:
и 
они прямоугольные, имеют общий катет и 
равно 
следовательно, эти треугольники равны, а значит, 
.
, следовательно, точка 
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 16. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
и 
следовательно 
Углы 
и 
равны друг другу, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники 
— они прямоугольные и имеют равные углы 
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Для решения этой задачи необходимо знание формул тригонометрии.
Дуги 
и 
и 
равны. Углы 
равны как накрест лежащие: 
вписан в окружность, следовательно, суммы противолежащих углов равны 180°, откуда 
По теореме косинусов:
окружности по теореме синусов: 
Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги 
равны. Углы 
равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник 
— равнобедренный:
Аналогично можно показать, что треугольник 
По теореме косинусов: 
сумма углов треугольника равна 180°: 
Углы 
являются смежными, следовательно, 
откуда:
— радиус описанной окружности, угол 
обозначим как 
Рассмотрим треугольник 
он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
равен 120°, а длина стороны 
меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны 
и 
. При этом по свойству касательных 
. Следовательно, длины ломаных 
и 
равны полупериметру 
. По условию 
.
из прямоугольного треугольника 
. В треугольнике 
Следовательно, треугольники 
— равнобедренные, поэтому в каждом треугольнике углы при основании равны. Угол 
— вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол 
Сумма углов треугольника равна 180°. Найдём угол 
и 
получаем, 
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 84, AC = 98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
— вписанный и опирается на диаметр, значит, угол 
и 
они прямоугольные, угол 
— общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда:
— вписанный и опирается на диаметр, следовательно, он прямой. Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, угол 
— общий,
Аналоги к заданию № 340133: 341345 341371 341397 341423 341512 341538 341162 357187 357188 357189 Все
и 
и 
соответственно. Отрезки 
и 
перпендикулярны. Найдите 
= 20°.
имеет 
= 90° − 20° = 70°, тогда 
= 180° − 70° = 110°. Далее 
, так как они опираются на одну дугу окружности: следовательно, 
. В четырёхугольнике 
имеем 
= 360° − 90° − 2 · 110° = 50°.
окружности перпендикулярен прямой 
и 
— это накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей 
и 
подобны. 
. Коэффициент подобия равен 
.
и 
лежат на стороне 
Найдите радиус окружности, проходящей через точки 
если 
по теореме косинусов найдём сторону 
найдём сторону 
равны, следовательно, треугольник 
Из основного тригонометрического тождества найдём 
равен половине дуги 
равен половине дуги 
углы 
— общий, значит, треугольники подобны. Откуда 
Значит, 
и 
Таким образом 
— вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых 
Продолжим высоту 
Получаем, что 
По теореме о секущих получаем, что 
Треугольники 
и 
— общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:
Угол 
и 
равна 90°. Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы 
и 
Найдём 
причём точка 
может лежать или на стороне 
перпендикулярен прямой 
как радиус проведённый в точку касания, 
и 
— равнобедренный, 
— высота, следовательно, 
— прямоугольник, потому что все его углы прямые. Откуда:
Продолжим стороны 
проведём отрезок 
параллельный 
Рассмотрим четырёхугольник 
прямая 
параллельна 
прямая 
параллельна прямой 
— прямой, следовательно, 
Значит, 
Из прямоугольного треугольника 
Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы 
и 
равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны: 
Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, угол 
— общий, следовательно, эти треугольники подобны. Значит, углы 
равны, а значит, 
Найдём 
из прямоугольного треугольника 
, считая от точки 
.
высоту, проведённую из вершины 
. Биссектриса, проведённая из угла 
, делит 
. Значит 
, поэтому 
. 
. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Тогда 
а гипотенуза 
а 
Так как 
то 
а 
по теореме Пифагора. 
, считая от точки 
.
, поэтому 
. По теореме синусов радиус описанной около треугольника 
По теореме о секущих получаем, что 
Треугольники 
прямая 
Из прямоугольного треугольника 
Рассмотрим треугольники 
угол 
Значит, 
и 
Таким образом 
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы 
Аналогично из равенства треугольников 
Пройти тестирование по этим заданиям
