Пусть — центр данной окружности, а — центр окружности, вписанной в треугольник . Точка касания окружностей делит пополам. и — биссектрисы смежных углов, значит, угол прямой. Из прямоугольного треугольника получаем:

Следовательно,

Ответ: 4,5.

Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём

Отрезки и OK равны как радиусы вписанной в треугольник ABC окружности, то есть Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO — общая, следовательно, треугольники равны, откуда Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем а из равенства треугольников BOL и BOM — Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

Рассмотрим треугольники ABC и ACD, AB равно CD, AD равно BC, углы ABC и ADC равны, следовательно, треугольники ABC и ACD равны. Поэтому площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна:

Ответ:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Отрезок проходит через центр описанной окружности, следовательно, — диаметр. Углы и — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны. Из прямоугольного треугольника Из прямоугольного треугольника Рассмотрим прямоугольный треугольник углы и равны, значит,

Ответ: 45°.

Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD, P — проекция точки E на прямую CD, Q — проекция точки C на прямую AD (см. рис.). Обозначим ∠CDA = a, CD = x.

Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 2, получаем, что

Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = 6x.

Поэтому

Следовательно,

Ответ:

Медиана KM разбивает треугольник AKC на два равновеликих треугольника — пусть их площади равны по 3S. Поскольку получаем, что

Пусть и Тогда отсюда Далее, а тогда то есть и

Получаем, что

Ответ: 49 : 81.