Пусть — центр данной окружности, а — центр окружности, вписанной в треугольник . Точка касания окружностей делит пополам. и — биссектрисы смежных углов, значит, угол прямой. Из прямоугольного треугольника получаем:

Следовательно,

Ответ: 4,5.

----------

Дублирует задание 314827.

Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём

Отрезки и OK равны как радиусы вписанной в треугольник ABC окружности, то есть Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO — общая, следовательно, треугольники равны, откуда Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем а из равенства треугольников BOL и BOM — Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

Рассмотрим треугольники ABC и ACD, AB равно CD, AD равно BC, углы ABC и ADC равны, следовательно, треугольники ABC и ACD равны. Поэтому площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна:

Ответ:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Отрезок проходит через центр описанной окружности, следовательно, — диаметр. Углы и — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны. Из прямоугольного треугольника Из прямоугольного треугольника Рассмотрим прямоугольный треугольник углы и равны, значит,

Ответ: 45°.

Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD, P — проекция точки E на прямую CD, Q — проекция точки C на прямую AD (см. рис.). Обозначим ∠CDA = a, CD = x.

Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 2, получаем, что

Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = 6x.

Поэтому

Следовательно,

Ответ:

Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD, P — проекция точки E на прямую CD, Q — проекция точки C на прямую AD (см. рис.). Обозначим ∠CDA = α, CD = x.

Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 1, получаем, что

Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = 14x.

Поэтому

Следовательно,

Ответ:

Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD, P — проекция точки E на прямую CD, Q — проекция точки C на прямую AD (см. рис.). Обозначим ∠CDA = α, CD = x.

Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 8, получаем, что

Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = x.

Поэтому

Следовательно,

Ответ:

Поскольку ∠QPS = ∠QPM = ∠MNQ = ∠QNP (см. рис.), треугольник PQS подобен треугольнику NQP по двум углам (угол при вершине Q общий). Поэтому

Пусть NS = x. Тогда

Из этого уравнения находим, что x = 45.

Ответ: 45.

Заметим, что ∠CAB = 90° − ∠CBA = ∠PCB, так что треугольник ABC подобен треугольнику CBP.

Пусть радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r, тогда Поскольку тангенс угла BAC равен получаем, что, Значит, откуда r = 204.

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠BCD = ∠CAD = ∠CAB, значит, треугольник ABC подобен треугольнику CBD по двум углам, причём коэффициент подобия равен (см. рисунок). Тогда

Следовательно,

Ответ: 51.

Пусть  .

= 102° − x;        x = + 32°.

= 72°;   ;    = 72° − x;   2x = 104°, x = 52°.

Ответ: 52°.

Пусть см, см и см. Поэтому гипотенуза см. По теореме Пифагора:

Угол BAC равен углу BCP так как и . Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем: Тогда а гипотенуза по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

Таким образом, а Так как то а по теореме Пифагора.

В треугольнике площадь равна произведению половины его периметра на радиус вписанной в него окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

Ответ:

Пусть вершины и ромба лежат на окружности радиуса 3, а вершины и лежат на окружности радиуса 4. Примем сторону ромба за , а величину угла за .

Тогда по теореме синусов для треугольника

Аналогично по теореме синусов для треугольника :

Значит, и . Получаем уравнение

Откуда . Следовательно, сторона ромба равна 4,8.

Ответ: 4,8.

Медиана BM делит AC пополам. Центр окружности лежит на середине медианы BM, тогда ON — средняя линия в треугольнике BMC, где O — центр окружности, а N — точка пересечения этой окружности стороны BC. Средняя линия в треугольнике равна половине основания, поэтому ON = 1. Средняя линия ON является радиусом окружности. Так как медиана BM является диаметром, то BM = 2ON = 2. Проведем MN в треугольнике BMC. Так как угол BNM опирается на диаметр BM, то таким образом, треугольник BNM — прямоугольный. Так как MN — средняя линия, то она параллельна AB, тогда треугольник ABC — прямоугольный. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, таким образом, радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности равен 2.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник — он равнобедренный, следовательно, . Аналогично в треугольнике имеем: Теперь рассмотрим треугольник : сумма его углов равна 180°, поэтому

Поскольку кроме этого имеем:

Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, имеют общий катет и равно следовательно, эти треугольники равны, а значит, .

Точка отстоит на равное расстояние от всех трёх вершин треугольника, , следовательно, точка — центр окружности, описанной около треугольника . Найдём сторону

Ответ: 14.

Введём обозначения, приведённые на рисунке. Лучи и — соответственно биссектрисы углов и , поскольку эти лучи проходят через центры вписанных окружностей. — середина основания следовательно, Углы и равны друг другу, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники и — они прямоугольные и имеют равные углы и , следовательно, эти треугольники подобны:

Отсюда следует, что радиус вписаной окружности:

Ответ:

Проведём через точку прямую, параллельную диагонали Дуги и равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды:

Вертикальные углы и равны. Углы и равны как накрест лежащие:

Четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противолежащих углов равны 180°, откуда

Рассмотрим треугольник По теореме косинусов:

Найдём радиус описанной вокруг треугольника окружности по теореме синусов:

Ответ:

Приведём другое решение.

Передвинем хорду так, чтобы она стала параллельна стороне (см. рисунок). Заметим, что при таком движении угол остаётся равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг и Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги и равны. Углы и равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник — равнобедренный:

Все углы треугольника равны 60°, следовательно, треугольник — равносторонний, значит, Аналогично можно показать, что треугольник — равносторонний, откуда

Рассмотрим треугольник По теореме косинусов:

По теореме синусов:

Приведём другое решение.

Рассмотрим треугольник сумма углов треугольника равна 180°: Углы и являются смежными, следовательно, откуда:

Пусть — радиус описанной окружности, угол обозначим как Рассмотрим треугольник он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:

Аналогично, из треугольника

Разделим на

Откуда:

Найдём

Таким образом, радиус описанной окружности равен:

Угол ACD, образованный касательной к окружности и хордой, проведённой через точку касания, равен половине заключённой между ними дуги AC. Угол ABC — вписанный, поэтому он также равен половине дуги AC, на которую он опирается. Поэтому углы ABC и ACD равны.

В треугольниках ACD и CBD угол BDC общий, углы ABC и ACD равны. Cледовательно, эти треугольники подобны, откуда

Биссектриса угла делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: Получаем:

Найдём

Ответ:

Центр окружности является точкой пересечения биссектрис углов и . При этом по свойству касательных . Следовательно, длины ломаных и равны полупериметру . По условию .

Найдем радиус из прямоугольного треугольника . В треугольнике

Ответ: 3.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Отрезки касательных, проведённые из одной точки равны, поэтому Следовательно, треугольники — равнобедренные, поэтому в каждом треугольнике углы при основании равны. Угол — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол образован хордой и касательной, следовательно, он равен половине величины дуги, которую заключает. Значит, Сумма углов треугольника равна 180°. Найдём угол

Аналогично, из треугольников и получаем,

Ответ: 24°; 104°; 52°.

Проведём построения, как показано на рисунке. Угол — вписанный и опирается на диаметр, значит, угол — прямой. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда:

Угол — вписанный и опирается на диаметр, следовательно, он прямой. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда

Подставляя выше найденное равенство:

Ответ: 26.

Из    имеет   = 90° − 20° = 70°, тогда   = 180° − 70° = 110°. Далее  , так как они опираются на одну дугу окружности: следовательно,  . В четырёхугольнике    имеем   = 360° − 90° − 2 · 110° = 50°.

Ответ: 50°.

По условию окружность проходит через точку B и это единственная общая точка окружности и прямой BC. Следовательно, радиус OB окружности перпендикулярен прямой BC. Поэтому прямые AC и OB параллельны. Центр O окружности равноудален от точек A и B, следовательно, он лежит на серединном перпендикуляре к AB. Обозначим середину AB буквой M.

 — это накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей AB.

Следовательно, прямоугольные треугольники ACB и BMO подобны.

По теореме Пифагора найдем, что Коэффициент подобия равен

Тогда

Ответ:

Введём обозначения, как показано на рисунке. По теореме о касательной и секущей:

Рассмотрим треугольник AEM, по теореме косинусов найдём сторону

Аналогично из треугольника AEN найдём сторону

В треугольнике AEN стороны AE и EN равны, следовательно, треугольник AEN — равнобедренный, откуда Из основного тригонометрического тождества найдём

Найдём искомый радиус окружности по теореме синусов:

Ответ: 5,4.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Угол, образованный касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, поэтому угол равен половине дуги Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому угол равен половине дуги Следовательно, углы и равны. Рассмотрим треугольники и углы и равны, угол — общий, значит, треугольники подобны. Откуда Значит, и Таким образом

Ответ: 15.

Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых и — точка пересечения высот Продолжим высоту до пересечения с окружностью в точке Получаем, что По теореме о секущих получаем, что Треугольники и — прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

Ответ: 15.

Продолжим стороны и до их пересечения в точке Угол равен 90°, поскольку сумма углов и равна 90°. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Найдём

Пусть окружность касается прямой в точке причём точка может лежать или на стороне или на её продолжении. Отрезок перпендикулярен прямой как радиус проведённый в точку касания, и — радиусы.

Треугольник — равнобедренный, — высота, следовательно, является медианой и биссектрисой. Четырехугольник — прямоугольник, потому что все его углы прямые. Откуда:

Ответ: 25.

Проведём построения, как показано на рисунке. Расстояние от точки до прямой — отрезок Продолжим стороны и до пересечения в точке проведём отрезок параллельный Рассмотрим четырёхугольник прямая параллельна прямая параллельна прямой угол — прямой, следовательно, — прямоугольник. Откуда Значит, Из прямоугольного треугольника Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны:

По теореме о касательной и секущей:

Откуда Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Значит, углы и равны, а значит, Найдём из прямоугольного треугольника

Ответ:

Обозначим высоту, проведённую из вершины . Биссектриса, проведённая из угла , делит в отношении, равном отношению и . Значит, , поэтому .

По теореме синусов радиус описанной около треугольника окружности равен отношению стороны к удвоенному синусу противолежащего угла:

Ответ: 17.

Угол BAC равен углу BCP так как и . Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем: Тогда а гипотенуза по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

Таким образом, а Так как то а по теореме Пифагора.

В треугольнике площадь равна произведению половины его периметра на радиус вписанной в него окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:

Ответ:

Обозначим высоту, проведённую из вершины . Биссектриса, проведённая из угла , делит высоту в отношении, равному отношению и . Значит, , поэтому . По теореме синусов радиус описанной около треугольника окружности

Ответ: 5.

Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых и — точка пересечения высот Продолжим высоту до пересечения с окружностью в точке Получаем, что По теореме о секущих получаем, что Треугольники и — прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:

Ответ: 80.

Проведём построения, как показано на рисунке. Расстояние от точки до прямой — отрезок Продолжим стороны и до пересечения в точке проведём отрезок параллельный Рассмотрим четырёхугольник прямая параллельна прямая параллельна прямой угол — прямой, следовательно, — прямоугольник. Откуда Значит, Из прямоугольного треугольника Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны:

По теореме о касательной и секущей:

Откуда Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Значит, углы и равны, а значит, Найдём из прямоугольного треугольника

Ответ:

Угол равен половине дуги на которую он опирается, поскольку это угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведённой через точку касания. Угол — вписанный, поэтому он также равен половине дуги, на которую опирается. Углы и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны, откуда Биссектриса угла делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: Получаем:

Найдём

Ответ:

Введём обозначения, как показано на рисунке. По теореме о касательной и секущей:

Рассмотрим треугольник по теореме косинусов найдём сторону

Аналогично из треугольника найдём сторону

В треугольнике стороны и равны, следовательно, треугольник — равнобедренный, откуда Из основного тригонометрического тождества найдём

Найдём искомый радиус окружности по теореме синусов:

Ответ: 24.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Угол, образованный касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, поэтому угол равен половине дуги Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому угол равен половине дуги Следовательно, углы и равны. Рассмотрим треугольники и углы и равны, угол — общий, значит, треугольники подобны. Откуда Значит, и Таким образом

Ответ: 42.

Продолжим стороны и до их пересечения в точке Угол равен 90°, поскольку сумма углов и равна 90°. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Найдём

Пусть окружность касается прямой в точке причём точка может лежать или на стороне или на её продолжении. Отрезок перпендикулярен прямой как радиус проведённый в точку касания, и — радиусы.

Треугольник — равнобедренный, — высота, следовательно, является медианой и биссектрисой. Четырехугольник — прямоугольник, потому что все его углы прямые. Откуда:

Ответ: 14,4.

Проведём через точку прямую, параллельную диагонали Дуги и равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды:

Вертикальные углы и равны. Углы и равны как накрест лежащие:

Четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противолежащих углов равны 180°, откуда

Рассмотрим треугольник По теореме косинусов:

Найдём радиус описанной вокруг треугольника окружности по теореме синусов:

Ответ:

Проведём построения, как показано на рисунке. Угол — вписанный и опирается на диаметр, значит, угол — прямой. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда:

Угол — вписанный и опирается на диаметр, следовательно, он прямой. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда

Подставляя выше найденное равенство:

Ответ: 63.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть — центр окружности, вписанной в треугольник Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Отрезки и равны как радиусы вписанной в треугольник окружности, то есть Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы и равны, — общая, следовательно, треугольники равны, откуда Аналогично из равенства треугольников и получаем а из равенства треугольников и — Площадь треугольника можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

Рассмотрим треугольники и равно , равно углы и равны, следовательно, треугольники и равны. Поэтому площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна:

Ответ: