математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 26 № 339825

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль AC. Точка O яв­ля­ет­ся цен­тром окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Рас­сто­я­ния от точки O до точки A и пря­мых AD и AC со­от­вет­ствен­но равны 5, 4 и 3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

Решение.

Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Пусть — центр окружности, впи­сан­ной в тре­уголь­ник Центр впи­сан­ной окруж­но­сти — это точка пе­ре­се­че­ния биссектрис, по­это­му — биссектрисы. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём

 

 

Отрезки и равны как ра­ди­у­сы впи­сан­ной в тре­уголь­ник окружности, то есть Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ALO и AOK, они прямоугольные, углы и равны, — общая, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Ана­ло­гич­но из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков и по­лу­ча­ем а из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков и Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как про­из­ве­де­ние ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти на полупериметр:

 

 

 

Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию вы­со­ты на основание:

 

 

Рассмотрим тре­уголь­ни­ки и равно , равно углы и равны, следовательно, тре­уголь­ни­ки и равны. По­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не пло­ща­ди параллелограмма:

 

 

Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна:

 

Ответ: