1)  «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, па­рал­лель­ную этой пря­мой»  — верно, это ак­си­о­ма пла­ни­мет­рии.

2)  Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет»  — не­вер­но: для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма длин любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше длины тре­тьей сто­ро­ны.

3)  «Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб  — квад­рат»  — верно, в этом слу­чае про­ти­во­по­лож­ный угол тоже будет равен 90°, а зна­чит и два дру­гих (рав­ных) угла будут равны по 90°.

4)  «В любом па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны»  — не­вер­но, диа­го­на­ли в про­из­воль­ном па­рал­ле­ло­грам­ме не равны.

Ответ: 13.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком»  — не­кор­рект­ное утвер­жде­ние, кор­рект­ное  — «Су­ще­ству­ет пря­мо­уголь­ник, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся квад­ра­том».

2)  «Если два угла тре­уголь­ни­ка равны, то равны и про­ти­во­ле­жа­щие им сто­ро­ны»  — верно, т. к. тре­уголь­ник, два угла ко­то­ро­го равны яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, при­чем рав­ные сто­ро­ны лежат на­про­тив рав­ных углов.

3)  «Внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы, об­ра­зо­ван­ные двумя па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми и се­ку­щей, равны»  — верно, это тео­ре­ма пла­ни­мет­рии.

Ответ: 23.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если угол ост­рый, то смеж­ный с ним угол также яв­ля­ет­ся ост­рым»  — не­вер­но, т. к. смеж­ные углы в сумме со­став­ля­ют 180°.

2)  «Диа­го­на­ли квад­ра­та вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны»  — верно, т. к. квад­рат  — част­ный слу­чай ромба.

3)  «В плос­ко­сти все точки, рав­но­уда­лен­ные от за­дан­ной точки, лежат на одной окруж­но­сти»  — верно, т. к. окруж­ность  — это мно­же­ство точек, на­хо­дя­щих­ся на за­дан­ном рас­сто­я­нии от дан­ной точки.

Ответ: 23.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если три сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны трем сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то тре­уголь­ни­ки по­доб­ны»  — верно, по при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

2)  «Сумма смеж­ных углов равна 180°»  — верно по свой­ству смеж­ных углов.

3)  «Любая вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой»  — не­вер­но, это утвер­жде­ние спра­вед­ли­во толь­ко для рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 12.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если угол равен 45°, то вер­ти­каль­ный с ним угол равен 45°»  — верно, по тео­ре­ме о вер­ти­каль­ных углах.

2)  «Любые две пря­мые имеют ровно одну общую точку»  — не­вер­но, утвер­жде­ние спра­вед­ли­во толь­ко для пе­ре­се­ка­ю­щих­ся пря­мых.

3)  «Через любые три точки про­хо­дит ровно одна пря­мая»  — не­вер­но, не все­гда через три точки можно про­ве­сти одну пря­мую.

4)  «Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой мень­ше 1, то и длина любой на­клон­ной, про­ве­ден­ной из дан­ной точки к пря­мой, мень­ше 1»  — не­вер­но, можно про­ве­сти на­клон­ную любой длины, боль­шей, чем рас­сто­я­ние от точки до пря­мой, в том числе и на­клон­ную дли­ной боль­ше 1.

Ответ: 1.

При­ме­ча­ние.

Не сле­ду­ет ду­мать, что во­прос «какие утвер­жде­ния вер­ные?» под­ра­зу­ме­ва­ет, что в от­ве­те долж­но быть не­сколь­ко утвер­жде­ний. Так же, как за­да­ча «ре­ши­те урав­не­ние» не под­ра­зу­ме­ва­ет, что ре­ше­ние во­об­ще есть.