PDF-версии: 1. Тип Д37 C5 № 77 
Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники
Геометрические задачи на доказательство. Разные задачи
i
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рис.). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.
Решение. Прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу (AB = CD как противолежащие стороны параллелограмма; ∠BAE = ∠DCF как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это перпендикуляры к одной прямой. Таким образом, в четырехугольнике BFDE противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому BFDE — параллелограмм.
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники
поэтому треугольник BDE является равнобедренным. Пусть угол при основании этого треугольника равен x, тогда 
Треугольники BEC и BDA равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому 
и треугольник ABC —равнобедренный.
то есть, эти части равновелики.
Покажем, что площади четырехугольников ABNM и MNCD равны:
и MN. На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS. Докажите, что OH и OS равны.
Таким образом, угол восьмиугольника равен 
Если вершины последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны 
Тогда угол между двумя отрезками, которые соединяют вершины, равен 
Поскольку все четыре равнобедренных треугольника равны, то и стороны получившегося четырехугольника равны. Таким образом, если вершины восьмиугольника последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
и 
следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно, 
Треугольники 
— равнобедренные, углы при основаниях равны 
Рассмотрим развернутый угол 
равны 
следовательно, шестиугольник 
то 
по стороне и двум прилежащим к ней углам:
по свойству углов равнобедренного треугольника;
по определению биссектрисы и равенству углов при основании равнобедренного треугольника.
как соответствующие элементы равных треугольников.
и 
Рассмотрим углы между ними: 
биссектрисы, проведенные из вершины 
и 
равны.
— биссектрисы треугольников ABC и 
В треугольниках ABK и 
соответственно равны стороны AB и 
а также углы B и 
BAK и 
Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Значит, 
что и требовалось доказать.
равен 36°, 
— биссектриса. Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.
= 72°. Значит, 
= 36°. Таким образом, углы ABD и BAD равны, поэтому треугольник ABD — равнобедренный.
и 
Таким образом, точки A, C, O и H лежат на одной окружности.
CK — биссектриса 
по стороне и двум прилежащим к ней углам:
— по свойству противоположных сторон параллелограмма;
по свойству противоположных углов параллелограмма;
по определению биссектрисы и равенству противоположных углов параллелограмма.
— середины сторон 
и DA параллелограмма ABCD соответственно
т. к. L — середина BC; 
т. к. 
как стороны ромба.
В равнобедренной трапеции 
Значит, треугольники BMA и CMD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, 
Площадь треугольника ABM 
площадь треугольника BMC 
Отрезки AM и MC равны, следовательно, 
Углы BKM и NKD равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, 
Рассмотрим треугольники BMK и KDN, они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно, эти треугольники равны, а значит равны отрезки MK и KN. Таким образом, 
а площадь треугольника 
следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит, 
то есть треугольник ACF — правильный.
следовательно, FHBD — ромб.
Каждый их треугольников 
— равнобдеренный, следовательно, углы при основании этих треугольников равны 
и 
следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно, 
равны 
следовательно, восьмиугольник