OГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 24 № 315120 Добавить в вариант

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим треугольники $HAB,BCD,DFE,FGH:$

$AH=AB=BC=CD=DE=FE=FG=GH,\angle A=\angle C=\angle E=\angle G,$ $AH=AB=BC=CD=DE=FE=$
$=FG=GH,\angle A=\angle C=\angle E=\angle G,$

следовательно эти треугольники равны, то есть $HB=BD=DF=FH,$ следовательно, FHBD  — ромб.

Любой угол правильного восьмиугольника равен $дробь: числитель: 180 градусов умножить на левая круглая скобка 8 минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 8 конец дроби =135 градусов.$ Каждый их треугольников $HAB,BCD,DFE,FGH$   — равнобдеренный, следовательно, углы при основании этих треугольников равны $дробь: числитель: 180 градусов минус 135 градусов, знаменатель: 2 конец дроби =22,5 градусов.$

Рассмотрим угол $GHA:$

$\angle GHA=\angle GHF плюс \angle FHB плюс \angle AHB равносильно \angle FHB=\angle GHA минус \angle GHF минус \angle AHB равносильно$
$равносильно \angle FHB= 135 градусов минус 22,5 градусов минус 22,5 градусов=90 градусов.$ $\angle GHA=\angle GHF плюс \angle FHB плюс \angle AHB равносильно$
$равносильно \angle FHB=\angle GHA минус \angle GHF минус \angle AHB равносильно$
$равносильно \angle FHB= 135 градусов минус 22,5 градусов минус 22,5 градусов=90 градусов.$

Следовательно все углы, в ромбе FHBD  — прямые, а значит, FHBD  — квадрат.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы	2
Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	1

Аналоги к заданию № 181: 315120 Все

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь