Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 24 № 181

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Спрятать решение

Решение.

Вычислим угол восьмиугольника по формуле  дробь: числитель: n минус 2, знаменатель: n конец дроби умножить на 180 градусов. Таким образом, угол восьмиугольника равен 135 градусов. Если вершины последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны 22,5 градусов. Тогда угол между двумя отрезками, которые соединяют вершины, равен 90 градусов. Поскольку все четыре равнобедренных треугольника равны, то и стороны получившегося четырёхугольника равны. Таким образом, если вершины восьмиугольника последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

 

Приведем решение Даниила Карсакова.

Если вершины последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, следовательно, все стороны получившегося четырехугольника равны. Углы этого четырехугольника опираются на диаметры окружности, описанной вокруг правильного восьмиугольника, следовательно, эти углы прямые. Тогда получившийся четырехугольник  — квадрат.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Доказательство верное, все шаги обоснованы2
Доказательство в целом верное, но содержит неточности1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 181: 315120 Все

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1317.