Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.
Пусть O — центр окружности, d — ее диаметр, а M, N и K — точки касания окружности с прямыми AC, AB и BC соответственно. Радиус OM перпендикулярен AC, а OK перпендикулярен BC. Следовательно, в четырехугольнике OMCK имеем ∠C = ∠M = ∠K = 90°, а значит, OMCK — прямоугольник. Поскольку OM = OK, прямоугольник OMCK — квадрат. Следовательно, 
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны: AM = AN, BN = BK и CM = CK. Периметр треугольника ABC равен
P = AB + BC + AC = AC + AN + BN + BC =
= AC + AM + BK + BC = MC + CK = 2MC = d.