Тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, зна­чит,

Тогда,

Ответ:

Пусть в тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ния BC  =  9 , AD  =  15 . Обо­зна­чим се­ре­ди­ну диа­го­на­ли AC через N , се­ре­ди­ну диа­го­на­ли BD через M , а се­ре­ди­ну сто­ро­ны CD через K.

Тогда NK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ACD, MK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BCD. Зна­чит, точки N, M и K лежат на одной пря­мой. Длина сред­ней линии тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не ос­но­ва­ния, по­это­му NM  =  NK − MK  =  7,5 − 4,5  =  3.

Ответ: 3.

По опре­де­ле­нию па­рал­ле­ло­грам­ма пря­мая BC па­рал­лель­ная пря­мой AD, от­ре­зок AE  — се­ку­щая при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, углы BEA и EAD равны как на­крест ле­жа­щие. По­сколь­ку тре­уголь­ник ABE  — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да Ана­ло­гич­но, тре­уголь­ник CED  — рав­но­бед­рен­ный и Сто­ро­ны AB и CD равны, как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма, сле­до­ва­тель­но:

Ответ: 20.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть диа­го­наль AC равна 76. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOH, он пря­мо­уголь­ный, най­дем синус угла сле­до­ва­тель­но, угол OAH равен 30°. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOB и AOD, они пря­мо­уголь­ные, AO  — общая, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да по­это­му Сумма углов ромба, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не, равна 180°, от­ку­да

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

При­ме­ча­ние Ильи Ко­ло­дия.

Для на­хож­де­ния угла BAD можно вос­поль­зо­вать­ся свой­ством ромба: диа­го­на­ли ромба делят его углы по­по­лам. Сле­до­ва­тель­но, ∠BAD  =  2 · ∠OAH.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Угол ODC и CAH равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки COD и ACH, они пря­мо­уголь­ные, углы ODC и CAH равны, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, от­ку­да Диа­го­на­ли ромба де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам: По­лу­ча­ем:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACH, ис­поль­зуя тео­ре­му Пи­фа­го­ра най­дем

Ответ: 20.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Длина сто­ро­ны ромба равна CD  =  DH + CH  =  21 + 8  =  29. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ADH:

Ответ: 20.