Трапеция равнобедренная, значит,

и

Тогда,

Ответ:

Поскольку в дан­ный па­рал­ле­ло­грамм можно впи­сать окружность, суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Так как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны также равны, получаем, что все сто­ро­ны дан­но­го па­рал­ле­ло­грам­ма равны, а значит, этот че­ты­рех­уголь­ник яв­ля­ет­ся ромбом. Следовательно, его пе­ри­метр равен 8 · 4 = 32.

Ответ: 32.

Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 15.

Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:

Ответ: 9.

Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 13.

Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:

Ответ: 5.

Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна  . Тогда дру­гая сто­ро­на равна  , а пло­щадь  . По тео­ре­ме Пифагора:

Значит, ис­ко­мая пло­щадь равна 27,5.

Ответ: 27,5.

1) по двум углам:

а) как вертикальные;

б) как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы при и се­ку­щей .

а) — общий;

б) как со­от­вет­ствен­ные при и се­ку­щей .

см.

3) Ана­ло­гич­но см.

4) см.

Ответ: 30 см.

По усло­вию , по­это­му и яв­ля­ют­ся не бо­ко­вы­ми сторонами, а ос­но­ва­ни­я­ми трапеции. Тогда тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны по двум углам, а от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно квад­ра­ту коэффициента по­до­бия . По­это­му . По­сколь­ку треугольники и имеют общую высоту, проведённую из вер­ши­ны , от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно от­но­ше­нию их оснований, т. е. . Значит, .

Площади тре­уголь­ни­ков и равны, так как эти тре­уголь­ни­ки имеют общее ос­но­ва­ние и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как вы­со­ты трапеции, сле­до­ва­тель­но

Поэтому и .

Ответ: .

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на боль­шее ос­но­ва­ния AD. По усло­вию тогда Катет, ле­жа­щий на­про­тив в угла в равен по­ло­ви­не гипотенузы, тогда Так как по условию, а HK=BC=CD, то Тре­уголь­ни­ки ABH и DCK равны по двум катетам, таким образом, тра­пе­ция ABCD- равнобедренная. Таким образом, АВ=2, AD=4, BH=. Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на высоту, имеем:

Ответ:

Пусть точка — се­ре­ди­на , точка — се­ре­ди­на , точка — се­ре­ди­на диа­го­на­ли , точка — се­ре­ди­на диа­го­на­ли . Тогда — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му па­рал­лель­но и . Ана­ло­гич­но получаем: — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му па­рал­лель­но и ; — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му па­рал­лель­но и ; — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка , по­это­му па­рал­лель­но и . От­сю­да заключаем, что в четырёхугольнике сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны и по­пар­но равны, по­это­му — параллелограмм. А так как па­рал­лель­но па­рал­лель­но , а пер­пен­ди­ку­ляр­но , то и пер­пен­ди­ку­ляр­но . По­это­му — прямоугольник. А так как диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны, то метру.

Ответ: 1 метр.

Приведём решение методом координат.

Пусть сторона BC лежит на оси Ox, а сторона AD лежит на оси Oy. Найдем координаты вершин четырехугольника:

Пусть M — середина AB, и N — середина CD. По формуле нахождения координат середины отрезков, найдем координаты точек M и N: Определим длину отрезка MN через координаты его концов:

Пусть точки P и Q — середины диагоналей AC и BD. Аналогично получаем:

Тема самым, что Следовательно, искомая длина равна 1 метру.

Углы и — од­но­сто­рон­ние при па­рал­лель­ных прямых и и се­ку­щей . Зна­чит их сумма равна 180°.

— бис­сек­три­са угла ; .

— бис­сек­три­са угла ; .

Тогда сумма углов и равна 90°, зна­чит треугольник — прямоугольный. Аналогично, тре­уголь­ник — прямоугольный. Точки и — точки пе­ре­се­че­ния биссектрис внеш­них углов тра­пе­ции , значит, и — рав­но­уда­ле­ны от па­рал­лель­ных прямых и . (Точка рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла и , и рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла и , т. к. лежит на бис­сек­три­сах соответствующих углов).

Таким образом, пря­мая па­рал­лель­на прямым и , и по тео­ре­ме Фалеса точки и , се­ре­ди­ны сторон и и — сред­няя линия тра­пе­ции (по определению).

Из пря­мо­уголь­но­го треугольника , ( — медиана, про­ве­ден­ная к гипотенузе). Из пря­мо­уголь­но­го треугольника , ( — медиана, про­ве­ден­ная к гипотенузе.

Значит, пе­ри­метр трапеции равен 56.

Ответ: 56.

Пусть — дан­ный четырёхугольник, — се­ре­ди­на стороны — се­ре­ди­на стороны — се­ре­ди­на стороны — се­ре­ди­на стороны . Проведём диа­го­на­ли и и от­рез­ки и , по­сле­до­ва­тель­но соединяющие се­ре­ди­ны сторон четырёхугольника. Тогда, по свой­ству средней линии треугольника, от­рез­ки и па­рал­лель­ны диагонали и равны её половине, а от­рез­ки и па­рал­лель­ны диагонали и равны её половине. По­это­му — параллелограмм. А так как, по усло­вию задачи, его диа­го­на­ли и равны, то — прямоугольник, и угол — прямой. От­сю­да следует, что и угол между диа­го­на­ля­ми и тоже прямой, и, следовательно, пло­щадь четырёхугольника будет равна по­ло­ви­не произведения его диагоналей, то есть

Ответ: 20.

По опре­де­ле­нию параллелограмма — се­ку­щая при па­рал­лель­ных прямых, следовательно, углы и равны как на­крест лежащие. По­сколь­ку тре­уголь­ник — равнобедренный, от­ку­да Аналогично, тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный и Сто­ро­ны и равны, как про­ти­во­по­лож­ные стороны параллелограмма, следовательно, Таким образом,

Ответ: 68.

1) по двум углам:

a) как вертикальные;

б) как внут­рен­ние накрест ле­жа­щие углы при и се­ку­щей .

а)  — общий;

б) как со­от­вет­ствен­ные углы при и се­ку­щей .

4)

Ответ: 12 см.

Так как AB = CD, то тра­пе­ция яв­ля­ет­ся равнобедренной. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BL из точки B на боль­шее ос­но­ва­ние AD. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABL и CHD равны по ги­по­те­ну­зе и при­ле­жа­ще­му остро­му углу, по­это­му AL = HD. Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований:

 

Так как AL = HD, имеем: , значит,

Ответ: HD = 12.

Поскольку — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка и Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и углы и равны как со­от­вет­ству­ю­щие углы при па­рал­лель­ных прямых, угол — общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны. От­ку­да ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия Пло­ща­ди по­доб­ных фигур со­от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та подобия, по­это­му Найдём пло­щадь четрыёхугольника

Ответ: 171.

В тра­пе­ции сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований, по­это­му можем найти боль­шее ос­но­ва­ние зная и

Проведём в тра­пе­ции вто­рую вы­со­ту Тра­пе­ция равнобедренная, по­это­му Рас­смот­рим два треугольника: и , они прямоугольные, имеют рав­ные углы и равно следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны. Таким образом, равны от­рез­ки и

Также рас­смот­рим четырёхугольник , все углы в нём — прямые, следовательно, это прямоугольник, зна­чит,

Теперь найдём длину от­рез­ка

Ответ: 12.

Пусть в тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC = 16 и AD = 34. Обо­зна­чим се­ре­ди­ну диагонали AC через N, се­ре­ди­ну диа­го­на­ли BD через M, а се­ре­ди­ну сто­ро­ны CD через K.

Тогда NK — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ACD, MK — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BCD. Значит, точки N, M и K лежат на одной прямой, и NM = NK − MK = 9.

Ответ: 9.

Накрест ле­жа­щие углы и равны, — бис­сек­три­са угла следовательно,

Значит, тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный и

По фор­му­ле пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма находим

Ответ: 35.

Сумма углов, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не трапеции, равна 180° , значит,

Получаем, что тре­уголь­ник ABF пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом F . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим AB:

Ответ: 26.

По опре­де­ле­нию па­рал­ле­ло­грам­ма — се­ку­щая при па­рал­лель­ных прямых, следовательно, углы и равны как на­крест лежащие. По­сколь­ку тре­уголь­ник — равнобедренный, от­ку­да Аналогично, тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный и Сто­ро­ны и равны, как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны параллелограмма, следовательно:

Ответ: 17.

Проведём через точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис высоту. Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они прямоугольные, углы и равны, сто­ро­на — общая, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Аналогично, равны тре­уголь­ни­ки H и от­ку­да Найдём пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на высоту:

Ответ: 266.

Пусть — длина сред­ней линии. Проведём вы­со­ту и проведём пря­мую па­рал­лель­ную Рас­смот­рим четырёхугольник следовательно, — параллелограмм, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ник Пусть — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле Герона:

Выразим пло­щадь тре­уголь­ни­ка как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на вы­со­ту от­ку­да найдём

Площадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию высоты на по­лу­сум­му длин оснований:

Ответ: 42.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Проведём вы­со­ты и В трапеции сумма смеж­ных углов при бо­ко­вой сто­ро­не равна 180°, по­это­му Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найдём сто­ро­ну

Углы и равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Высоты и равны. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найдём

Ответ:

Сумма углов, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не трапеции, равна 180° , значит,

Получаем, что тре­уголь­ник ABF пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом F . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим AB:

Ответ: 25.

Пусть — длина сред­ней линии. Проведём вы­со­ту и проведём пря­мую па­рал­лель­ную Рас­смот­рим четырёхугольник следовательно, — параллелограмм, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ник Пусть — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле Герона:

Выразим пло­щадь тре­уголь­ни­ка как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на вы­со­ту от­ку­да найдём

Площадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию высоты на по­лу­сум­му длин оснований:

Ответ: 96.