Трапеция равнобедренная, значит,

и

Тогда,

Ответ:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть диагональ равна 76. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим треугольник он прямоугольный, найдём синус угла следовательно, угол равен 30°. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, — общая, следовательно, эти треугольники равны, откуда поэтому Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180°, откуда

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

Поскольку в данный параллелограмм можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны. Так как противоположные стороны также равны, получаем, что все стороны данного параллелограмма равны, а значит, этот четырехугольник является ромбом. Следовательно, его периметр равен 8 · 4 = 32.

Ответ: 32.

Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 15.

Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:

Ответ: 9.

Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 13.

Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:

Ответ: 5.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна  a. Тогда другая сторона равна  28 − a, а площадь  a(28 − a). По теореме Пифагора:

Значит, искомая площадь равна 27,5.

Ответ: 27,5.

Приведем другое решение.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна  a. Тогда другая сторона равна  28 − a, а площадь  a(28 − a). По теореме Пифагора:

Заметим, что если одна сторона равна , то другая сторона равна , тогда площадь равна

Заметим, что такое решение связано с трудоемкими вычислениями, поэтому более рациональным является способ, представленный в основном решении.

Приведем еще одно решение.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, а другая b, тогда площадь равна ab. Получим систему уравнений:

1) по двум углам:

а) как вертикальные;

б) как внутренние накрест лежащие углы при и секущей .

а) — общий;

б) как соответственные при и секущей .

см.

3) Аналогично см.

4) см.

Ответ: 30 см.

По условию , поэтому и являются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции. Тогда треугольники и подобны по двум углам, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия . Поэтому . Поскольку треугольники и имеют общую высоту, проведённую из вершины , отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е. . Значит, .

Площади треугольников и равны, так как эти треугольники имеют общее основание и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции, следовательно,

Поэтому и .

Ответ: .

Примечание.

Учащиеся, изучающие геометрию углубленно, могут решить задачу в один шаг:

Опустим перпендикуляры BH и CK на большее основания AD. По условию тогда Катет, лежащий напротив в угла в равен половине гипотенузы, тогда Так как по условию, а HK=BC=CD, то Треугольники ABH и DCK равны по двум катетам, следовательно, трапеция ABCD — равнобедренная. Таким образом, АВ=2, AD=4, BH=. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту, имеем:

Ответ:

Пусть точка K — середина AB, точка P — середина CD, точка H — середина диагонали AC, точка E — середина диагонали BD. Тогда KH — средняя линия треугольника ABC, поэтому KH параллельно BC и . Аналогично получаем: KE — средняя линия треугольника ABD, поэтому KE параллельно AD и ; PH — средняя линия треугольника DAC, поэтому PH параллельно AD и ; PE — средняя линия треугольника BDC, поэтому PE параллельно BC и . Отсюда заключаем, что в четырёхугольнике KHPE стороны попарно параллельны и попарно равны, поэтому KHPE — параллелограмм. А так как KH параллельно BC, KE параллельно AD, а BC перпендикулярно AD, то и KH перпендикулярно KE. Поэтому KHPE — прямоугольник. А так как диагонали прямоугольника равны, то метру.

Ответ: 1 метр.

Приведём решение методом координат.

Пусть сторона BC лежит на оси Ox, а сторона AD лежит на оси Oy. Найдем координаты вершин четырехугольника:

Пусть M — середина AB, и N — середина CD. По формуле нахождения координат середины отрезков, найдем координаты точек M и N: Определим длину отрезка MN через координаты его концов:

Пусть точки P и Q — середины диагоналей AC и BD. Аналогично получаем:

Тема самым, что Следовательно, искомая длина равна 1 метру.

Углы и — односторонние при параллельных прямых и и секущей . Значит, их сумма равна 180°.

— биссектриса угла ; .

— биссектриса угла ; .

Тогда сумма углов и равна 90°, значит, треугольник — прямоугольный. Аналогично, треугольник — прямоугольный. Точки и — точки пересечения биссектрис внешних углов трапеции , значит, и — равноудалены от параллельных прямых и . (Точка равноудалена от сторон угла и , и равноудалена от сторон угла и , т. к. лежит на биссектрисах соответствующих углов).

Таким образом, прямая параллельна прямым и , и по теореме Фалеса точки и , середины сторон и и — средняя линия трапеции (по определению).

Из прямоугольного треугольника , ( — медиана, проведенная к гипотенузе).

Из прямоугольного треугольника , ( — медиана, проведенная к гипотенузе).

Значит, периметр трапеции равен 56.

Ответ: 56.

Пусть — данный четырёхугольник, — середина стороны — середина стороны — середина стороны — середина стороны . Проведём диагонали и и отрезки и , последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки и параллельны диагонали и равны её половине, а отрезки и параллельны диагонали и равны её половине. Поэтому — параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали и равны, то — прямоугольник, и угол — прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями и тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника будет равна половине произведения его диагоналей, то есть

Ответ: 20.

По определению параллелограмма — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы и равны как накрест лежащие. Поскольку треугольник — равнобедренный, откуда Аналогично, треугольник — равнобедренный и Стороны и равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно, Таким образом,

Ответ: 68.

1) по двум углам:

a) как вертикальные;

б) как внутренние накрест лежащие углы при и секущей .

а)  — общий;

б) как соответственные углы при и секущей .

4)

Ответ: 12 см.

Так как AB = CD, то трапеция является равнобедренной. Опустим перпендикуляр BL из точки B на большее основание AD. Прямоугольные треугольники ABL и CHD равны по гипотенузе и прилежащему острому углу, поэтому AL = HD. Средняя линия равна полусумме оснований:

 

Так как AL = HD, имеем: , значит,

Ответ: HD = 12.

Поскольку — средняя линия треугольника и Рассмотрим треугольники и углы и равны как соответствующие углы при параллельных прямых, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда коэффициент подобия Площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому Найдём площадь четрыёхугольника

Ответ: 171.

Пусть в трапеции ABCD с основаниями BC = 16 и AD = 34. Обозначим середину диагонали AC через N, середину диагонали BD через M, а середину стороны CD через K.

Тогда NK — средняя линия треугольника ACD, MK — средняя линия треугольника BCD, значит, точки N, M и K лежат на одной прямой. Длина средней линии треугольника равна половине стороны, параллельной ей, то есть MK = BC/2 = 8, NK = AD/2 = 17, и NM = NK − MK = 9.

Ответ: 9.

Накрест лежащие углы и равны, — биссектриса угла следовательно,

Значит, треугольник равнобедренный и

По формуле площади параллелограмма находим

Ответ: 35.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° , значит,

Получаем, что треугольник ABF прямоугольный с прямым углом F . По теореме Пифагора находим AB:

Ответ: 26.

По определению параллелограмма — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы и равны как накрест лежащие. Поскольку треугольник — равнобедренный, откуда Аналогично, треугольник — равнобедренный и Стороны и равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно:

Ответ: 17.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.

Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, поскольку АК — биссектриса, сторона AK — общая, следовательно, треугольники равны. Тогда Аналогично, равны треугольники BKH и BKM, откуда

Найдём площадь параллелограмма как произведение основания на высоту:

Ответ: 266.

Пусть — длина средней линии. Проведём высоту и проведём прямую параллельную Рассмотрим четырёхугольник следовательно, — параллелограмм, откуда Рассмотрим треугольник Пусть — полупериметр треугольника Найдём площадь треугольника по формуле Герона:

Выразим площадь треугольника как произведение основания на высоту откуда найдём

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму длин оснований:

Ответ: 42.

Примечание.

Можно не искать высоту трапеции, а заметить, что площади треугольников ABC и CDE равны, так как соответственно равны их основания BC и DE и высоты проведённые к этим основаниям. Тогда

Введём обозначения, как показано на рисунке. Проведём высоты и В трапеции сумма смежных углов при боковой стороне равна 180°, поэтому Из прямоугольного треугольника найдём сторону

Углы и равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Высоты и равны. Из прямоугольного треугольника найдём

Ответ:

Пусть — длина средней линии. Проведём высоту CH и проведём прямую CE, параллельную BD. Рассмотрим четырёхугольник следовательно, BCED — параллелограмм, откуда Рассмотрим треугольник ACE, Пусть p — полупериметр треугольника ACE. Найдём площадь треугольника ACE по формуле Герона:

Выразим площадь треугольника ACE как произведение основания AE на высоту CH, откуда найдём

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований:

Ответ: 96.

Примечание.

Решение можно сократить, заметив, что треугольник ACE является прямоугольным, и его площадь равна площади трапеции ABCD. Действительно, в силу равенства

по теореме, обратной теореме Пифагора, заключаем, что треугольник ACE прямоугольный. Тогда площадь треугольника находится как полупроизведение катетов:

Далее, треугольник ACE имеет общую высоту с трапецией, а его основание AE есть сумма оснований трапеции. Таким образом, найденная площадь данного треугольника равна искомой площади трапеции.