Ре­ше­ние. Сумма углов тре­уголь­ни­ка АВС равна 180°, по­это­му угол ABC равен 180° − 30° − 50° = 100°. Сумма про­ти­во­по­лож­ных углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 180°, по­это­му 180° − 100° = 80°.

Ответ: 80.

Ре­ше­ние. Так как сумма од­но­сто­рон­них углов тра­пе­ции равна 180°, в усло­вии го­во­рит­ся о сумме углов при ос­но­ва­нии. По­сколь­ку тра­пе­ция яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, углы при ос­но­ва­нии равны. Зна­чит, каж­дый из них равен 70°. Сумма од­но­сто­рон­них углов тра­пе­ции равна 180°, по­это­му боль­ший угол равен 180° − 70° = 110°.

Ответ: 110.

Ре­ше­ние. Пусть x  — мень­ший угол тра­пе­ции, а 2x  — боль­ший угол. У рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции углы при ос­но­ва­ни­ях равны, по­это­му их сумма равна x + 2x + x + 2x = 6x. По­сколь­ку она равна 360°, на­хо­дим: х = 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Так как KN  — сред­няя линия тра­пе­ции, то KL и LN сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ABC и СAD со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Сумма углов тре­уголь­ни­ка ACD равна 180°, по­это­му Так как ос­но­ва­ния тра­пе­ции па­рал­лель­ны, углы CAD и BCA равны как на­крес­тле­жа­щие. Так как тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, сумма ее про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, по­это­му

Ответ: 110.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку угол С равен 135°, а сумма про­ти­во­по­лож­ных углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 180°, угол А равен 45°.

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний. Имеем:

Ответ: 17.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­ве­дем вы­со­ту AB. За­ме­тим, что Тан­генс угла равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Сле­до­ва­тель­но, Тогда

По­это­му боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции равно

Ответ: 33.

Ре­ше­ние. Углы BCA и CAD равны как на­крест ле­жа­щие, то есть

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции углы при ос­но­ва­нии равны:

Ответ: 120.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где a и b  — ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та тра­пе­ции. Най­дем вы­со­ту: сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции углы при ос­но­ва­ни­ях равны. Угол ABC  — тупой, а угол BAD  — ост­рый, зна­чит, ∠ABC  — боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции. Углы CAD и BCA равны как на­крест ле­жа­щие. Тогда:

Ответ: 115.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вто­рую вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тре­уголь­ник ABH  — пря­мо­уголь­ный, угол углы BAH и ABH равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABH  — рав­но­бед­рен­ный, В че­ты­рех­уголь­ни­ке HBCK И сле­до­ва­тель­но, он па­рал­ле­ло­грамм. Угол зна­чит, HBCK  — пря­мо­уголь­ник, от­ку­да и По­сколь­ку тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, углы BAH и CDK равны. Тре­уголь­ни­ки ABH и CDK пря­мо­уголь­ные, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. MN  — сред­няя линия, по­это­му, от­ку­да по тео­ре­ме Фа­ле­са Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABD MK  — сред­няя линия, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Пусть углы тра­пе­ции равны α, β, γ, δ и угол Около вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°: от­ку­да Сумма смеж­ных углов в тра­пе­ции равна 180°, сле­до­ва­тель­но,

Тем самым, три не­из­вест­ных угла равны 49°, 131° и 131°.

Ответ: 49131131.

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель за­ме­тит, что тра­пе­ция яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной. Дей­стви­тель­но, окруж­ность можно опи­сать толь­ко во­круг рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, по­сколь­ку толь­ко в этом слу­чае сумма про­ти­во­по­лож­ных углов тра­пе­ции равна 180 гра­ду­сам.

Ре­ше­ние. Пусть сто­ро­ны тра­пе­ции равны a, b, c, d. В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны: a + c  =  b + d  =  24. Длина сред­ней линии равна по­лу­сум­ме длин ос­но­ва­ний: 24/2  =  12.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Угол ADC равен

Тра­пе­ция ABCD — рав­но­бед­рен­ная, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­ни­ях равны, то есть ∠BAD  =  ∠ADC  =  62°. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, от­ку­да из тре­уголь­ни­ка ABD по­лу­ча­ем, что

Ответ: 69.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

По усло­вию: BC = CH = AH = 58.

Тре­уголь­ник HCD пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 203.

Ре­ше­ние. Если че­ты­рех­уголь­ник впи­сан в окруж­ность, то суммы ве­ли­чин его про­ти­во­по­лож­ных углов равны 180°: по­это­му

Ответ: 99.

Ре­ше­ние. Если в тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность, то суммы ее про­ти­во­ле­жа­щих сто­рон равны: по­это­му

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний. По­это­му сред­няя линия равна

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. По­это­му

Ответ: 35.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку тра­пе­ция яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, углы при ос­но­ва­нии равны. Так как сумма од­но­сто­рон­них углов тра­пе­ции равна 180°, то боль­ший угол в тра­пе­ции

Ответ: 114.

Ре­ше­ние. Сумма углов в тра­пе­ции равна 360°, зна­чит, боль­ший угол равен

Ответ: 116.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ни­ки BOC и AOD по­доб­ны по двум углам:   — вер­ти­каль­ные,   — на­крест ле­жа­щие углы при се­ку­щей BD, BC и AD па­рал­лель­ны. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков: пред­ста­вив по­лу­чим по­это­му

Ответ: 14.