Прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу (AB = CD как противолежащие стороны параллелограмма;  ∠BAE = ∠DCF как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это перпендикуляры к одной прямой. Таким образом, в четырёхугольнике BFDE противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому BFDE — параллелограмм.

Проведём LF параллельно CD (см. рис.). Тогда BL = LC = CD. Следовательно, параллелограмм CDFL является ромбом. Диагональ DL ромба CDFL является биссектрисой угла CDA.

Проведём FN параллельно BC (см. рис.). Тогда AD = AN = NB. Следовательно, параллелограмм BCFN является ромбом. Диагональ CN ромба BCFN является биссектрисой угла BCD.

Поскольку угол ABC тупой, основания высот будут лежать на продолжениях сторон. Так как диагонали четырёхугольника AA₁C₁C пересекаются, он выпуклый, а поскольку около него можно описать окружность. Тогда как вписанные углы, опирающиеся на дугу AA₁, а как вписанные углы, опирающиеся на дугу CC₁. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.

По свойству биссектрисы угла точка P равноудалена от прямых AD и CD (так как лежит на биссектрисе угла D ) и равноудалена от прямых BC и CD (так как лежит на биссектрисе угла C). Значит, точка P равноудалена от всех трёх указанных прямых.

Проведём FK параллельно AD (см. рис.). Имеем AD = AK = KB, следовательно, параллелограмм AKFD является ромбом. Диагональ DK ромба AKFD является биссектрисой угла ADC.

Продолжим BK до пересечения с прямой AD в точке F. Заметим, что в треугольниках FDK и BCK стороны CK и DK равны по условию, углы при вершине K равны как вертикальные, а углы KDF и KCB равны как накрест лежащие. Значит, треугольники FDK и BCK равны.

Следовательно, их площади равны, то есть площадь трапеции равна площади треугольника ABF. Но из равенства треугольников также вытекает, что FK = BK, то есть AK — медиана в треугольнике ABF. Тогда треугольник KAB по площади составит половину треугольника FAB, а значит, и данной трапеции.

Пусть ABCD — трапеция, M и N — середины оснований AD и BC соответвенно.

Пусть AM = MD = a и BN = NC = b, а h — высота трапеции. Тогда площадь каждой из частей, на которые отрезок MN делит трапецию, равна то есть, эти части равновелики.

Проведём FM параллельно AB (см. рисунок). Тогда CD = AM = MD. Следовательно, параллелограмм DCFM является ромбом. Диагональ CM ромба DCFM является биссектрисой угла BCD.

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и по условию известно, что АЕ = CK, BF = DM, то BЕ = KD, CF = AM. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому треугольники EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что EF=MK, EM=FK. Так как противоположные стороны четырехугольника EFKM равны, то по признаку параллелограмма этот четырехугольник — параллелограмм.

Вычислим угол восьмиугольника по формуле Таким образом, угол восьмиугольника равен Если вершины последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны Тогда угол между двумя отрезками, которые соединяют вершины равен Поскольку все четыре равнобедренных треугольника равны, то и стороны получившегося четырёхугольника равны. Таким образом, если вершины восьмиугольника последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Рассмотрим маленькие треугольники и , следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно,

Любой угол правильного шестиугольника равен Треугольники и — равнобедренные, углы при основаниях равны Рассмотрим развёрнутый угол

Аналогично все остальные углы шестиугольника равны следовательно, шестиугольник — правильный.

Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам. Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм — прямоугольник.

В треугольниках и имеем как противоположные углы параллелограмма, как прямые углы, значит, треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников.

В треугольниках    и    имеем    как противоположные углы параллелограмма,    как прямые углы, значит, треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников.

Пусть общая вершина квадратов — точка . и . Следовательно, . Тогда треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, как соответствующие стороны равных треугольников.

— параллелограмм
— биссектриса , — биссектриса .
Докажите, что .

1) по стороне и двум прилежащим к ней углам:
а) — по свойству противоположных сторон параллелограмма;
б) по свойству противоположных углов параллелограмма;
в) по определению биссектрисы и равенству противоположных углов параллелограмма.
2) как соответствующие элементы равных треугольников.

Пусть точки — середины сторон и параллелограмма соответственно

1) т. к. — середина ;

2) , т. к. как противоположные стороны параллелограмма, а и — середины этих сторон;

3) как стороны ромба.

Тогда треугольники и равны по трем сторонам. Это означает, что угол равен углу . Но эти углы в сумме дают 180°, поэтому каждый из них равен 90°. Таким образом, углы параллелограмма прямые. Значит, он прямоугольник.

Треугольник равнобедренный. Поэтому . В равнобедренной трапеции .

Отсюда следует, что . Значит, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, .

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому если равны три стороны, то все стороны этого параллелограмма равны, значит, это ромб. Отрезки и равны и параллельны, следовательно, — параллелограмм, значит, длина равна длине стороны и, следовательно, равна четверти периметра параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Тогда, с одной стороны, S = AD · BH, а с другой стороны, S = CD · BE. Поскольку BH = BE , получаем, что AD = CD. Следовательно, все стороны параллелограмма равны, а значит, ABCD — ромб.

Проведём высоту так, чтобы она проходила через точку Углы и равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, Рассмотрим треугольники и , они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно, эти треугольники равны, а значит равны отрезки и . Таким образом,

Площадь параллелограмм равна а площадь треугольника

Рассмотрим треугольники следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит, то есть треугольник — правильный.

Рассмотрим треугольники

следовательно эти треугольники равны, то есть следовательно, — ромб.

Любой угол правильного восьмиугольника равен Каждый их треугольников — равнобдеренный, следовательно, углы при основании этих треугольников равны

Рассмотрим угол

Следовательно все углы, в ромбе — прямые, а значит, — квадрат.

Рассмотрим маленькие треугольники и , следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно,

Любой угол правильного восьмиугольника равен Треугольники и — равнобедренные, углы при основаниях равны Рассмотрим развёрнутый угол

Аналогично все остальные углы восьмиугольника равны следовательно, восьмиугольник — правильный.

Проведём отрезок EF параллельно основаниям трапеции, точка F лежит на стороне CD. Отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, значит, высоты треугольников EFD и CEF , проведённые к стороне EF , равны между собой и равны половине высоты трапеции h. Имеем

Проведём через точку прямые, параллельные сторонам параллелограмма, пересекающие его стороны AB, BC , CD и AD в точках K , L, M и N соответственно. Эти прямые делят параллелограмм ABCD на четыре параллелограмма. Поскольку диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, получаем

Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов BAD и BCD равна 180°.

Следовательно,

Получаем, что в треугольниках MBC и MDA углы MCB и MAD равны, угол M общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Углы CBD и BDA равны, как накрест лежащие при параллельных прямых. В треугольниках и следовательно, эти треугольники подобны по двум парам пропорциональных сторон и углу между ними.

Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Проведём параллельно Поскольку и по теореме Фаллеса получаем, что Следовательно, — средняя линия. Пусть — длина высоты трапеции. Площадь трапеции равна:

Откуда получаем, что

В задаче возможны два случая.

Первый случай, AD — одно из оснований. Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Рассмотрим треугольники OBH и BOK Рассмотрим треугольники OBH и OBK, они прямоугольные, углы HBO и KBO равны, OB — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда OH = OK. Аналогично из треугольников KOC и COL получаем, что OK = OL. Таким образом, OH = OK = OL.

Второй случай, AD — одна из боковых сторон. Несмотря на другую геометрическую конфигурацию, доказательство полностью повторяет доказательство для первого случая.

Воспользуемся теоремой: если отрезок АВ виден из точек С и D, лежащих по одну сторону от прямой АВ, под одним и тем же углом, то точки А, В, С, D лежат на одной окружности (см. рис.). А тогда ∠ABD = ∠ACD как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AD. Что и требовалось доказать.

Приведём другое решение.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и углы и равны по условию, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники и подобны. Откуда Равенство можно представить в виде Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные и имеется равенство следовательно, треугольники подобны. Поэтому углы и равны.

Про­ведём вы­со­ты и они равны. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна По­сколь­ку вы­со­ты и равны, равны и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и По­ка­жем, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и равны:

Проведём через точку прямую перпендикулярную стороне Поскольку стороны и параллельны, также перпендикулярно и стороне Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольники и равно , равно углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны. Поэтому равны их соответствующие элементы, то есть Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, равно углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны, поэтому равно Рассмотрим треугольники и равно равно углы и равны как вертикальные, следовательно, данные треугольники равны, и BP = DT.

Проведём медиану Стороны и равны как радиусы окружности, поэтому треугольник — равнобедренный, следовательно, медиана является также высотой. Проведём медиану Стороны и равны как радиусы окружности, поэтому треугольник — равнобедренный, следовательно, медиана является также высотой. прямые и перпендикулярны одной и той же прямой , следовательно, они параллельны. Эти прямые проходят через одну и ту же точку значит, они совпадают. Таким образом прямая перпендикулярна прямой

Введём обозначения, как показано на рисунке. Проведём высоту через точку Поскольку — средняя линия, Отрезки и равны, следовательно, по теореме Фалеса, Площадь треугольника равна Площадь треугольника равна Найдём сумму площадей этих треугольников:

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть — длина высоты трапеции. Площадь треугольника равна площади треугольника поскольку высоты, проведённые к основаниям и равны, а основания и равны. Аналогично равны площади треугольников и Покажем, что площади четырёхугольников и равны:

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°, поэтому Углы и образуют развёрнутый угол, значит, Из приведённых равенств получаем, что Рассмотри треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны.

Продолжим BK до пересечения с прямой AD в точке F. Заметим, что в треугольниках FDK и BCK стороны CK и DK равны по условию, углы при вершине K равны как вертикальные, а углы KDF и KCB равны как накрест лежащие. Значит, треугольники FDK и BCK равны.

Следовательно, их площади равны, то есть площадь трапеции равна площади треугольника ABF. Но из равенства треугольников также вытекает, что FK = BK, то есть AK — медиана в треугольнике ABF. Тогда треугольник KAB по площади составит половину треугольника FAB, а значит, и данной трапеции.

----------

Дублирует задание 341396

Про­ведём вы­со­ты и они равны. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна По­сколь­ку вы­со­ты и равны, равны и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и По­ка­жем, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и равны:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Проведём высоту через точку Поскольку — средняя линия, Отрезки и равны, следовательно, по теореме Фалеса, Площадь треугольника равна Площадь треугольника равна Найдём сумму площадей этих треугольников:

Углы CBD и BDA равны, как накрест лежащие при параллельных прямых. В треугольниках и имеем: следовательно, эти треугольники подобны по двум парам пропорциональных сторон и углу между ними.

Проведём через точку прямую перпендикулярную стороне Поскольку стороны и параллельны, также перпендикулярно и стороне Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольники и равно , равно углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны. Поэтому равны их соответствующие элементы, то есть Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, равно углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны, поэтому равно Рассмотрим треугольники и равно равно углы и равны как вертикальные. Следовательно, , а поскольку - параллелограмм,

Проведём LN параллельно AD (см. рис.). Тогда AL = AD = ND. Следовательно, параллелограмм ADNL является ромбом. Диагональ AN ромба ADNL является биссектрисой угла BAD.

как накрест лежащие при параллельных и и секущей . , так как - биссектриса. Отсюда . Таким образом, треугольник - равнобедренный, следовательно, . Доказываем аналогичным образом, что и, следовательно, , так как (из параллелограмма)