По­сколь­ку угол ACB тупой, ос­но­ва­ния высот A₁ и B₁ будут ле­жать на про­дол­же­ни­ях сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка AA₁B₁B пе­ре­се­ка­ют­ся, по­это­му он вы­пук­лый. По­сколь­ку ∠AA₁B = ∠AB₁B = 90°, каж­дый из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AA₁B и AB₁B впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром AB. Это озна­ча­ет, что все вер­ши­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка AA₁B₁B лежат на одной окруж­но­сти. Тогда углы ∠AB₁A₁ и ∠ABA₁ равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу A₁A. Ана­ло­гич­но, ∠BA₁B₁ = ∠BAB₁. Зна­чит, ука­зан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

Ука­жем общую тео­ре­му.

Ос­но­ва­ния двух высот тре­уголь­ни­ка (ост­ро­уголь­но­го или ту­по­уголь­но­го) и одна из его вер­шин об­ра­зу­ют тре­уголь­ник, по­доб­ный ис­ход­но­му; ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен мо­ду­лю ко­си­ну­са их об­ще­го угла.

См. также.

Ана­ло­гич­ное за­да­ние с ост­ро­уголь­ным тре­уголь­ни­ком: 340341.

При­ве­дем ре­ше­ние Ро­ма­на Ре­ше­ти­ло­ва.

Тре­уголь­ни­ки ACA₁ и BCB₁ по­доб­ны по двум углам, по­сколь­ку ∠AA₁C = ∠BB₁C  =  90°, ∠ACA₁ = ∠BCB₁ равны как вер­ти­каль­ные. Сле­до­ва­тель­но,

Углы ACB и A₁CB₁ равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки A₁CB₁ и ACB по­доб­ны по от­но­ше­нию двух сто­рон, за­клю­ча­ю­щих рав­ные углы.

По свой­ству бис­сек­три­сы угла точка P рав­но­уда­ле­на от пря­мых AD и CD (так как лежит на бис­сек­три­се угла D ) и рав­но­уда­ле­на от пря­мых BC и CD (так как лежит на бис­сек­три­се угла C). Зна­чит, точка P рав­но­уда­ле­на от всех трех ука­зан­ных пря­мых.

Так как в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны и по усло­вию из­вест­но, что АЕ = CK, BF = DM, то BЕ = KD, CF = AM. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны, по­это­му тре­уголь­ни­ки EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что EF=MK, EM=FK. Так как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка EFKM равны, то по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма этот че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм.

В тре­уголь­ни­ках ABE  и CBF  имеем   как про­ти­во­по­лож­ные углы па­рал­ле­ло­грам­ма,   как пря­мые углы, зна­чит, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Пусть общая вер­ши­на квад­ра­тов  — точка O. и Сле­до­ва­тель­но, Тогда тре­уголь­ни­ки AOB и COE равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Сле­до­ва­тель­но, как со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны рав­ных тре­уголь­ни­ков.