Прямоугольные тре­уголь­ни­ки ABE и CDF равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу (AB = CD как про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны параллелограмма;  ∠BAE = ∠DCF как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD и се­ку­щей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это пер­пен­ди­ку­ля­ры к одной прямой. Таким образом, в четырёхугольнике BFDE про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны равны и параллельны, по­это­му BFDE — параллелограмм.

Проведём LF па­рал­лель­но CD (см. рис.). Тогда BL = LC = CD. Следовательно, па­рал­ле­ло­грамм CDFL является ромбом. Диа­го­наль DL ромба CDFL является бис­сек­три­сой угла CDA.

Проведём FN параллельно BC (см. рис.). Тогда AD = AN = NB. Следовательно, па­рал­ле­ло­грамм BCFN является ромбом. Диа­го­наль CN ромба BCFN является бис­сек­три­сой угла BCD.

Поскольку угол ABC тупой, ос­но­ва­ния высот будут ле­жать на про­дол­же­ни­ях сторон. Так как диа­го­на­ли четырёхугольника AA₁C₁C пересекаются, он выпуклый, а по­сколь­ку около него можно опи­сать окружность. Тогда как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу AA₁, а как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу CC₁. Значит, ука­зан­ные треугольники по­доб­ны по двум углам.

Поскольку угол ABC тупой, ос­но­ва­ния высот будут A₁ и C₁ ле­жать на про­дол­же­ни­ях сторон BC и AB соответственно. Так как диа­го­на­ли четырёхугольника AA₁C₁C пересекаются, он выпуклый, а по­сколь­ку около четырёхугольника AA₁C₁C можно описать окружность. Тогда углы и равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу CC₁. Аналогично, равны углы и Значит, ука­зан­ные треугольники по­доб­ны по двум углам.

По свой­ству бис­сек­три­сы угла точка P рав­но­уда­ле­на от пря­мых AD и CD (так как лежит на бис­сек­три­се угла D ) и рав­но­уда­ле­на от пря­мых BC и CD (так как лежит на бис­сек­три­се угла C). Значит, точка P рав­но­уда­ле­на от всех трёх ука­зан­ных прямых.

Проведём FK па­рал­лель­но AD (см. рис.). Имеем AD = AK = KB, следовательно, па­рал­ле­ло­грамм AKFD яв­ля­ет­ся ромбом. Диа­го­наль DK ромба AKFD яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла ADC.

Продолжим BK до пе­ре­се­че­ния с пря­мой AD в точке F. Заметим, что в тре­уголь­ни­ках FDK и BCK сто­ро­ны CK и DK равны по условию, углы при вер­ши­не K равны как вертикальные, а углы KDF и KCB равны как на­крест лежащие. Значит, тре­уголь­ни­ки FDK и BCK равны.

Следовательно, их пло­ща­ди равны, то есть пло­щадь тра­пе­ции равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABF. Но из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков также вытекает, что FK = BK, то есть AK — ме­ди­а­на в тре­уголь­ни­ке ABF. Тогда треугольник KAB по пло­ща­ди со­ста­вит по­ло­ви­ну тре­уголь­ни­ка FAB, а значит, и дан­ной трапеции.

Пусть ABCD — трапеция, M и N — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний AD и BC соответвенно.

Пусть AM = MD = a и BN = NC = b, а h — вы­со­та трапеции. Тогда пло­щадь каж­дой из частей, на ко­то­рые от­ре­зок MN делит трапецию, равна то есть, эти части равновелики.

Проведём FM па­рал­лель­но AB (см. рисунок). Тогда CD = AM = MD. Следовательно, па­рал­ле­ло­грамм DCFM яв­ля­ет­ся ромбом. Диа­го­наль CM ромба DCFM яв­ля­ет­ся биссектрисой угла BCD.

Так как в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны и по усло­вию известно, что АЕ = CK, BF = DM, то BЕ = KD, CF = AM. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны, то тре­уголь­ни­ки EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков следует, что EF=MK, EM=FK. Так как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка EFKM равны, то по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма это четырехугольника- параллелограмм.

Вычислим угол вось­ми­уголь­ни­ка по фор­му­ле Таким образом, угол вось­ми­уголь­ни­ка равен Если вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то об­ра­зу­ют­ся че­ты­ре рав­ных рав­но­бед­рен­ных треугольника, углы при ос­но­ва­нии ко­то­рых равны Тогда угол между двумя отрезками, ко­то­рые со­еди­ня­ют вер­ши­ны равен По­сколь­ку все че­ты­ре рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка равны, то и сто­ро­ны по­лу­чив­ше­го­ся четырёхугольника равны. Таким образом, если вер­ши­ны вось­ми­уголь­ни­ка по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квадрат.

Рас­смот­рим ма­лень­кие тре­уголь­ни­ки и , следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум сто­ро­нам и углу. Ана­ло­гич­но равны между собой и осталь­ные ма­лень­кие треугольники. Сле­до­ва­тель­но

Любой угол пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен Тре­уголь­ни­ки и — равнобедренные, углы при ос­но­ва­ни­ях равны Рас­смот­рим развёрнутый угол

Аналогично все осталь­ные углы ше­сти­уголь­ни­ка равны сле­до­ва­тель­но ше­сти­уголь­ник — правильный.

Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам. Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой па­рал­ле­ло­грамм — прямоугольник.

В тре­уголь­ни­ках и имеем как про­ти­во­по­лож­ные углы параллелограмма, как пря­мые углы, зна­чит тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия треугольников.

В тре­уголь­ни­ках    и    имеем    как про­ти­во­по­лож­ные углы параллелограмма,    как пря­мые углы, зна­чит тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия треугольников.

Пусть общая вер­ши­на квад­ра­тов — точка . и . Следовательно, . Тогда тре­уголь­ни­ки и равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Следовательно, как со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны рав­ных треугольников.

— параллелограмм
— биссектриса , — биссектриса .
Докажите, что .

1) по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам:
а) — по свой­ству про­ти­во­по­лож­ных сто­рон параллелограмма;
б) по свой­ству про­ти­во­по­лож­ных углов параллелограмма;
в) по опре­де­ле­нию бис­сек­три­сы и ра­вен­ству про­ти­во­по­лож­ных углов параллелограмма.
2) как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты рав­ных треугольников.

Пусть точки — середины сто­рон и па­рал­ле­ло­грам­ма соответственно

1) т. к. — середина ;

2) , т. к. как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны параллелограмма, а и — середины этих сторон;

3) как сто­ро­ны ромба.

Тогда тре­уголь­ни­ки и равны по трем сторонам. Это означает, что угол равен углу . Но эти углы в сумме дают 180°, по­это­му каж­дый из них равен 90°. Таким образом, углы па­рал­ле­ло­грам­ма прямые. Значит, он прямоугольник.

Треугольник равнобедренный. По­это­му . В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции .

Отсюда следует, что . Значит, тре­уголь­ни­ки и равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Следовательно, .

В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны, по­это­му если равны три стороны, то все сто­ро­ны этого па­рал­ле­ло­грам­ма равны, значит, это ромб. От­рез­ки и равны и параллельны, следовательно, — параллелограмм, значит, длина равна длине сто­ро­ны и, следовательно, равна чет­вер­ти пе­ри­мет­ра параллелограмма.

Площадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­ро­ны на высоту, про­ве­ден­ную к этой стороне.

Тогда, с одной стороны, S = AD · BH, а с дру­гой стороны, S = CD · BE. По­сколь­ку BH = BE , получаем, что AD = CD. Следовательно, все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, а значит, ABCD — ромб.

Проведём вы­со­ту так, чтобы она про­хо­ди­ла через точку Углы и равны друг другу как вер­ти­каль­ные. Вспом­ним также, что диа­го­на­ли де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния пополам, следовательно, Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и , они прямоугольные, имеют рав­ные углы и рав­ные гипотенузы, сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит равны от­рез­ки и . Таким образом,

Площадь па­рал­ле­ло­грамм равна а пло­щадь тре­уголь­ни­ка

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, значит, то есть тре­уголь­ник — правильный.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки

следовательно эти тре­уголь­ни­ки равны, то есть сле­до­ва­тель­но — ромб.

Любой угол пра­виль­но­го вось­ми­уголь­ни­ка равен Каж­дый их тре­уголь­ни­ков — равнобдеренный, сле­до­ва­тель­но углы при ос­но­ва­нии этих тре­уголь­ни­ков равны

Рассмотрим угол

Следовательно все углы, в ромбе — прямые, а значит, — квадрат.

Рас­смот­рим ма­лень­кие тре­уголь­ни­ки и , следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум сто­ро­нам и углу. Ана­ло­гич­но равны между собой и осталь­ные ма­лень­кие треугольники. Сле­до­ва­тель­но

Любой угол пра­виль­но­го вось­ми­уголь­ни­ка равен Тре­уголь­ни­ки и — равнобедренные, углы при ос­но­ва­ни­ях равны Рас­смот­рим развёрнутый угол

Аналогично все осталь­ные углы вось­ми­уголь­ни­ка равны сле­до­ва­тель­но восьми­уголь­ник — правильный.

Проведём от­ре­зок EF па­рал­лель­но ос­но­ва­ни­ям трапеции, точка F лежит на сто­ро­не CD. От­ре­зок EF — сред­няя линия тра­пе­ции ABCD, значит, вы­со­ты тре­уголь­ни­ков EFD и CEF , проведённые к сто­ро­не EF , равны между собой и равны по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции h. Имеем

Проведём через точку прямые, па­рал­лель­ные сто­ро­нам параллелограмма, пе­ре­се­ка­ю­щие его сто­ро­ны AB, BC , CD и AD в точках K , L, M и N соответственно. Эти пря­мые делят параллелограмм ABCD на че­ты­ре параллелограмма. По­сколь­ку диа­го­наль делит па­рал­ле­ло­грамм на два рав­ных треугольника, по­лу­ча­ем

Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов BAD и BCD равна 180°.

Следовательно,

Получаем, что в тре­уголь­ни­ках MBC и MDA углы MCB и MAD равны, угол M общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны.

Углы CBD и BDA равны, как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных прямых. В тре­уголь­ни­ках и следовательно, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум парам пропорциональных сторон и углу между ними.

Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как ука­за­но на рисунке. Проведём па­рал­лель­но По­сколь­ку и по тео­ре­ме Фал­ле­са получаем, что Следовательно, — сред­няя линия. Пусть — длина вы­со­ты трапеции. Пло­щадь тра­пе­ции равна:

Откуда получаем, что

В за­да­че воз­мож­ны два случая.

Первый случай, AD — одно из оснований. Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как ука­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки OBH и BOK Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки OBH и OBK, они прямоугольные, углы HBO и KBO равны, OB — общая, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны. От­ку­да OH = OK. Ана­ло­гич­но из тре­уголь­ни­ков KOC и COL получаем, что OK = OL. Таким образом, OH = OK = OL.

Второй случай, AD — одна из бо­ко­вых сторон. Не­смот­ря на дру­гую гео­мет­ри­че­скую конфигурацию, до­ка­за­тель­ство пол­но­стью по­вто­ря­ет до­ка­за­тель­ство для пер­во­го случая.

Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и углы и равны по условию, углы и равны как вертикальные, следовательно, тре­уголь­ни­ки и подобны. От­ку­да Ра­вен­ство можно пред­став­ить в виде Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и углы и равны как вер­ти­каль­ные и име­ет­ся ра­вен­ство следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны. По­это­му углы и равны.

Проведём вы­со­ты и они равны. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна По­сколь­ку вы­со­ты и равны, равны и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и Покажем, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и равны:

Проведём через точку пря­мую пер­пен­ди­ку­ляр­ную сто­ро­не По­сколь­ку сто­ро­ны и параллельны, также пер­пен­ди­ку­ляр­но и сто­ро­не Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся пополам. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и равно , равно углы и равны как вертикальные, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны. По­это­му равны их со­от­вет­ству­ю­щие элементы, то есть Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они прямоугольные, равно углы и равны как вертикальные, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны, по­это­му равно Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и равно равно углы и равны как вертикальные, следовательноб данные треугольники равны, и BP = DT.

Проведём ме­ди­а­ну Сто­ро­ны и равны как ра­ди­у­сы окружности, по­это­му тре­уголь­ник — равнобедренный, следовательно, ме­ди­а­на яв­ля­ет­ся также высотой. Проведём ме­ди­а­ну Сто­ро­ны и равны как ра­ди­у­сы окружности, по­это­му тре­уголь­ник — равнобедренный, следовательно, ме­ди­а­на яв­ля­ет­ся также высотой. пря­мые и пер­пен­ди­ку­ляр­ны одной и той же пря­мой , сле­до­ва­тель­но они параллельны. Эти пря­мые про­хо­дят через одну и ту же точку значит, они совпадают. Таким об­ра­зом пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой

Введём обозначения как показано на рисунке. Проведём вы­со­ту через точку По­сколь­ку — сред­няя линия, От­рез­ки и равны, следовательно, по тео­ре­ме Фалеса, Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Найдём сумму пло­ща­дей этих треугольников:

Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Пусть — длина вы­со­ты трапеции. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка по­сколь­ку высоты, проведённые к ос­но­ва­ни­ям и равны, а ос­но­ва­ния и равны. Ана­ло­гич­но равны пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и Покажем, что пло­ща­ди четырёхугольников и равны:

Четырёхугольник можно впи­сать в окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, по­это­му Углы и об­ра­зу­ют развёрнутый угол, значит, Из приведённых ра­венств получаем, что Рас­смот­ри тре­уголь­ни­ки и угол — общий, углы и равны, следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны.

Продолжим BK до пе­ре­се­че­ния с пря­мой AD в точке F. Заметим, что в тре­уголь­ни­ках FDK и BCK сто­ро­ны CK и DK равны по условию, углы при вер­ши­не K равны как вертикальные, а углы KDF и KCB равны как на­крест лежащие. Значит, тре­уголь­ни­ки FDK и BCK равны.

Следовательно, их пло­ща­ди равны, то есть пло­щадь тра­пе­ции равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABF. Но из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков также вытекает, что FK = BK, то есть AK — ме­ди­а­на в тре­уголь­ни­ке ABF. Тогда треугольник KAB по пло­ща­ди со­ста­вит по­ло­ви­ну тре­уголь­ни­ка FAB, а значит, и дан­ной трапеции.

----------

Дублирует задание 341396

Проведём вы­со­ты и они равны. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна По­сколь­ку вы­со­ты и равны, равны и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и Покажем, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и равны:

Введём обозначения как показано на рисунке. Проведём вы­со­ту через точку По­сколь­ку — сред­няя линия, От­рез­ки и равны, следовательно, по тео­ре­ме Фалеса, Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Найдём сумму пло­ща­дей этих треугольников:

Углы CBD и BDA равны, как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных прямых. В тре­уголь­ни­ках и имеем: следовательно, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум парам пропорциональных сто­рон и углу между ними.

Проведём через точку пря­мую пер­пен­ди­ку­ляр­ную сто­ро­не По­сколь­ку сто­ро­ны и параллельны, также пер­пен­ди­ку­ляр­но и сто­ро­не Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся пополам. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и равно , равно углы и равны как вертикальные, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны. По­это­му равны их со­от­вет­ству­ю­щие элементы, то есть Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они прямоугольные, равно углы и равны как вертикальные, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны, по­это­му равно Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и равно равно углы и равны как вертикальные. Следовательно, , а поскольку - параллелограмм,

По свой­ству бис­сек­три­сы угла точка P рав­но­уда­ле­на от пря­мых AD и CD (так как лежит на бис­сек­три­се угла D ) и рав­но­уда­ле­на от пря­мых BC и CD (так как лежит на бис­сек­три­се угла C). Значит, точка P рав­но­уда­ле­на от всех трёх ука­зан­ных прямых.

----------

Дублирует задание 341344

Проведём LN па­рал­лель­но AD (см. рис.). Тогда AL = AD = ND. Следовательно, па­рал­ле­ло­грамм ADNL является ромбом. Диа­го­наль AN ромба ADNL является бис­сек­три­сой угла BAD.

как накрест лежащие при параллельных и и секущей . , так как - биссектриса. Отсюда . Таким образом, треугольник - равнобедренный, следовательно, . Доказываем аналогичным образом, что и, следовательно, , так как (из параллелограмма)