В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. рис.). До­ка­жи­те, что ВFDЕ  — па­рал­ле­ло­грамм.

В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA₁ и BB₁. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки A₁CB₁ и ACB по­доб­ны.

Сто­ро­на BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны CD. Точка L  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. До­ка­жи­те, что DL  — бис­сек­три­са угла CDA.

Бис­сек­три­сы углов C и D тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, ле­жа­щей на сто­ро­не AB. До­ка­жи­те, что точка P рав­но­уда­ле­на от пря­мых BC, CD и AD.

До­ка­жи­те, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний тра­пе­ции, делит ее на две рав­ные по пло­ща­ди части.

В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, при­чем АЕ = CK, BF = DM. До­ка­жи­те, что EFKM  — па­рал­ле­ло­грамм.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка E  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­вест­но, что EC=ED. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм  — пря­мо­уголь­ник.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­ны вы­со­ты BE и BF. До­ка­жи­те, что  по­до­бен 

Два квад­ра­та имеют общую вер­ши­ну. До­ка­жи­те, что от­ме­чен­ные на ри­сун­ке от­рез­ки AB и CE равны.

В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ве­де­ны бис­сек­три­сы про­ти­во­по­лож­ных углов. До­ка­жи­те, что от­рез­ки бис­сек­трис, за­клю­чен­ные внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма, равны.

Се­ре­ди­ны сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми ромба. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм  — пря­мо­уголь­ник.

Из­вест­но, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AD и BC че­ты­рех­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки KAB и KCD по­доб­ны.

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD. Точка M лежит на ос­но­ва­нии AD и рав­но­уда­ле­на от кон­цов дру­го­го ос­но­ва­ния. До­ка­жи­те, что M  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния AD.

Три сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны. До­ка­жи­те, что от­ре­зок с кон­ца­ми в се­ре­ди­нах про­ти­во­по­лож­ных сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равен чет­вер­ти его пе­ри­мет­ра.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­ны вы­со­ты BH и BE к сто­ро­нам AD и CD со­от­вет­ствен­но, при этом BH  =  BE. До­ка­жи­те, что ABCD  — ромб.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKD.

Точка E  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны AB тра­пе­ции ABCD. До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ECD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тра­пе­ции.

Внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вы­бра­ли про­из­воль­ную точку E. До­ка­жи­те, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BEC и AED равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма.

Из­вест­но, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AB и CD че­ты­рех­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки MBC и MDA по­доб­ны.

Ос­но­ва­ния BC и AD тра­пе­ции ABCD равны со­от­вет­ствен­но 5 и 20, BD  =  10. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки CBD и ADB по­доб­ны.

Бис­сек­три­сы углов B и C тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, ле­жа­щей на сто­ро­не AD. До­ка­жи­те, что точка O рав­но­уда­ле­на от пря­мых AB, BC и CD.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD углы BCA и BDA равны. До­ка­жи­те, что углы ABD и ACD также равны.

В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков AOB и COD равны.

Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и CD в точ­ках P и T со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что BP  =  DT.

Бис­сек­три­сы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E сто­ро­ны BC. До­ка­жи­те, что E  — се­ре­ди­на BC.

Сто­ро­на CD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны BC. Точка N — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. До­ка­жи­те, что BN — бис­сек­три­са угла ABC.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка E  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­вест­но, что EC  =  ED. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм  — пря­мо­уголь­ник.