Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABE и CDF равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу (AB = CD как про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма;  ∠BAE = ∠DCF как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD и се­ку­щей AC). Сле­до­ва­тель­но, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это пер­пен­ди­ку­ля­ры к одной пря­мой. Таким об­ра­зом, в че­ты­рех­уголь­ни­ке BFDE про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны, по­это­му BFDE  — па­рал­ле­ло­грамм.

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABE и CDF равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу (AB = CD как про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма;  ∠BAE = ∠DCF как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD и се­ку­щей AC). Сле­до­ва­тель­но, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это пер­пен­ди­ку­ля­ры к одной пря­мой. Таким об­ра­зом, в че­ты­рех­уголь­ни­ке BFDE про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны, по­это­му BFDE  — па­рал­ле­ло­грамм, а BF || DE.

ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм, по­это­му сто­ро­ны AB и CD равны. Углы BAC и ACD равны, как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD и се­ку­щей Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABE и CFD, они пря­мо­уголь­ные, их ги­по­те­ну­зы равны и угол BAC равен углу ACD, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и углу, зна­чит, равны от­рез­ки BE и и сле­до­ва­тель­но, Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка BEFD равны и па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, этот че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм, зна­чит,

ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм, по­это­му сто­ро­ны AB и CD равны. Углы BAC и ACD равны, как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD и се­ку­щей Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABE и CFD, они пря­мо­уголь­ные, их ги­по­те­ну­зы равны и угол BAC равен углу ACD, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и углу, зна­чит, равны от­рез­ки BE и и сле­до­ва­тель­но, Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка BEFD равны и па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, этот че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм, зна­чит,

ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм, по­это­му сто­ро­ны AB и CD равны. Углы BAC и ACD равны, как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD и се­ку­щей Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABE и CFD, они пря­мо­уголь­ные, их ги­по­те­ну­зы равны и угол BAC равен углу ACD, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и углу, зна­чит, равны от­рез­ки BE и Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки BEF и EFD, BE равно FD, EF  — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны по двум ка­те­там.