PDF-версии: 
Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.
Решение. Проведем отрезок MT, параллельный AP. Тогда MT — средняя линия треугольника APC и CT = TP, а KP — средняя линия треугольника BMT и TP = BP. Обозначим площадь треугольника BKP через S. Тогда площадь треугольника KPС, имеющего ту же высоту и вдвое больше основание, равна 2S. Значит, площадь треугольника CKB равна 3S и равна площади треугольника СMK (треугольники имеют одну высоту, проведенную из вершины С, и равные основания), которая в свою очередь равна площади треугольника AMK. Площадь треугольника АВК равна площади треугольника АМК. Итак,
Значит, 
Ответ: 0,6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
тогда 
так как 
по свойству биссектрисы. Значит, 
Пусть S — площадь треугольника ABC, тогда 
У треугольников ABK и ABM высота, проведенная к стороне BM, общая, поэтому площади этих треугольников относятся как их основания BK и BM, откуда: 
а так как PN = CN, получаем, что 
откуда 
откуда получаем:
Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:
Рассмотрим треугольник ABM: AK — биссектриса, следовательно:
Выразим площадь треугольника BPK:
Треугольник CMA равнобедренный с углом 30°, следовательно, угол при основании 
Сумма острых углов прямоугольного треугольника ABC равна 90°, поэтому 
Треугольник ABD — равнобедренный, его высота BC, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Следовательно, площадь треугольника ABD равна удвоенной площади треугольника ABC и равна 36. Площадь треугольника ABD равна 
Тогда из уравнения 
получаем, что 
откуда 
Тогда из уравнения 
откуда 
поскольку треугольники BDK и ADC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Поэтому 
и 
Следовательно
Рассмотрим треугольник ABM: AK — биссектриса, следовательно:
Выразим площадь треугольника BPK:
и 1
Применяя теорему косинусов в треугольнике ABC имеем: 
Рассмотрим треугольник ACE. Прямая CO — биссектриса, по свойству биссектрисы:
Из условия известно, что 
Следовательно, 
и 
и 
Следовательно
По свойству биссектрисы AP имеем: 
Из условия задачи известно, что 
следовательно,
