Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 25 № 357152
i

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са BE и ме­ди­а­на AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и имеют оди­на­ко­вую длину, рав­ную 12. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABD. Пусть ме­ди­а­на AD пе­ре­се­ка­ет­ся с бис­сек­три­сой BE в точке O. Бис­сек­три­са BE пер­пен­ди­ку­ляр­на ме­ди­а­не AD, то есть яв­ля­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка ABD, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем AD. Тогда от­ре­зок BO  — ме­ди­а­на, сле­до­ва­тель­но, AO = OD = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AD = 6, от­ку­да

S_AOE = S_DOE = S,

S_ADE = S_AOE плюс S_DOE = 2S.

Если луч BE  — бис­сек­три­са, то по свой­ству бис­сек­три­сы дробь: чис­ли­тель: AE, зна­ме­на­тель: EC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , тогда

S_DEC = 2S_AED = 2 умно­жить на 2S = 4S,

S_ABD = S_ADC = 6S,

AO = OD = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AD = S_ABO = S_BOD = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_ABO = 3S_AOE,

то есть S_ABO = 3S_AOE. Далее:

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AO умно­жить на BO = 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AO умно­жить на OE рав­но­силь­но BO = 3OE,

BE = BO плюс OE = 4 умно­жить на OE = 12,

то есть OE = 3, OB = 9. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOE:

AE = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AO в квад­ра­те плюс OE в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 плюс 9 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 45 конец ар­гу­мен­та = 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та ,

AC = AE плюс EC = AE плюс 2AE = 3 умно­жить на AE = 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOB:

AB = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AO в квад­ра­те плюс OB в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 плюс 81 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 умно­жить на 4 плюс 9 умно­жить на 9 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 умно­жить на 13 конец ар­гу­мен­та = 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та ,

BC = 2BD = 2AB = 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та ; 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та ; 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Ход ре­ше­ния вер­ный, все его шаги вы­пол­не­ны пра­виль­но, по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ход ре­ше­ния вер­ный, все его шаги вы­пол­не­ны пра­виль­но, но даны не­пол­ные объ­яс­не­ния или до­пу­ще­на одна вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка.1
Дру­гие слу­чаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным кри­те­ри­ям.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 333323: 353380 333349 339435 ... Все

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ
Раздел кодификатора ФИПИ:
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025