Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда по­сколь­ку тре­уголь­ни­ки BDK и ADC равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

При­ме­ча­ние

Ре­ше­ние ана­ло­гич­ной за­да­чи ме­то­дом пло­ща­дей дано Алек­се­ем Ко­то­вым (Москва) в № 357152.

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ковBE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BE и AD (см. рис.). Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, так как его бис­сек­три­са BP яв­ля­ет­ся вы­со­той. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

Про­ве­дем через вер­ши­ну B пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AC. Пусть точка K  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны AD. Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков APE и KPB сле­ду­ет, что По­это­му и Сле­до­ва­тель­но

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Тре­уголь­ни­ки ABO и BOD равны: они пря­мо­уголь­ные, углы ABE и DBE равны, сто­ро­на BO  — общая. Тогда и За­ме­тим далее, что а тогда Бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну, к ко­то­рой она про­ве­де­на, на от­рез­ки про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сто­ро­нам, по­это­му от­ку­да Най­дем AB и AE.

Тре­уголь­ни­ки ABE и BED равны: углы BEA и BED равны, сто­ро­на BE  — общая, по­это­му Ме­ди­а­на ED тре­уголь­ни­ка BEC делит его на два рав­но­ве­ли­ких, по­это­му спра­вед­ли­во ра­вен­ство: Тем самым, На­ко­нец, пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC, от­ку­да

Пло­щадь вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин диа­го­на­лей на синус угла между ними, по­это­му:

Тогда С дру­гой сто­ро­ны,

от­ку­да

Длину AB най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABO:

Зна­чит, Длину AE най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOE:

тогда

По­это­му

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABD. Пусть ме­ди­а­на AD пе­ре­се­ка­ет­ся с бис­сек­три­сой BE в точке O. Бис­сек­три­са BE пер­пен­ди­ку­ляр­на ме­ди­а­не AD, то есть яв­ля­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка ABD, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем AD. Тогда от­ре­зок BO  — ме­ди­а­на, сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Если луч BE  — бис­сек­три­са, то по свой­ству бис­сек­три­сы тогда

то есть Далее:

то есть По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOE:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOB:

Ответ: