Через 7 минут масса изо­то­па ста­нет через 14 минут  — ..., через 42 минут масса ста­нет

Ответ: 10.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что массы изо­то­па в за­дан­ные мо­мен­ты вре­ме­ни пред­став­ля­ют собой гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию со зна­ме­на­те­лем Масса изо­то­па в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни яв­ля­ет­ся пер­вым чле­ном гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, масса изо­то­па через 7 минут  — вто­рым чле­ном про­грес­сии, а масса изо­то­па через 42 ми­ну­ты − седь­мым чле­ном про­грес­сии и может быть опре­де­ле­на по фор­му­ле

Через 30 минут масса ко­ло­нии ста­нет через 60 минут  — ..., через 90 минут масса ста­нет

Ответ: 351.

Рост массы ста­биль­но­го изо­то­па пред­став­ля­ет собой гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном и зна­ме­на­те­лем Сумма гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии n чле­нов может быть най­де­на по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти массу ста­биль­но­го изо­то­па Б через 40 минут, то есть имеем:

Ответ: 155.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Масса об­ра­зо­вав­ше­го­ся изо­то­па Б равна раз­но­сти массы ис­ход­но­го ве­ще­ства и массы остав­ше­го­ся изо­то­па А. Каж­дые 8 минут оста­ет­ся по­ло­ви­на ато­мов изо­то­па А, сле­до­ва­тель­но, по­сле­до­ва­тель­ность зна­че­ний масс изо­то­па А пред­став­ля­ет собой гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном и зна­ме­на­те­лем Най­дем массу изо­то­па А через 40 минут, то есть

Тогда масса об­ра­зо­вав­ше­го­ся изо­то­па Б со­ста­вит 160 − 5  =  155 мг.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что в ка­че­стве пер­во­го члена гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии бе­рет­ся масса изо­то­па не в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни, а через 8 минут. Сле­до­ва­тель­но,

b₁  —  масса изо­то­па через 8 минут,

b₂  —  масса изо­то­па через 16 минут,

b₃  —  масса изо­то­па через 24 ми­ну­ты,

b₄  —  масса изо­то­па через 32 ми­ну­ты,

b₅  —  масса изо­то­па через 40 минут.

Из­ме­не­ние вы­со­ты от­ско­ка мя­чи­ка пред­став­ля­ет собой гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном и зна­ме­на­те­лем По фор­му­ле n-⁠ого члена най­дем, после ка­ко­го по счету от­ско­ка вы­со­та, на ко­то­рую под­ле­тит мячик, ста­нет мень­ше 15 см:

Сле­до­ва­тель­но,   — ми­ни­маль­ное целое зна­че­ние, ко­то­рое удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ство, или счет от­ско­ка, после ко­то­ро­го вы­со­та, на ко­то­рую под­ле­тит мячик, ста­нет мень­ше 15 см.

Ответ: 4.

Масса об­ра­зо­вав­ше­го­ся изо­то­па Б равна раз­но­сти массы ис­ход­но­го ве­ще­ства и массы остав­ше­го­ся изо­то­па А. Каж­дые 9 минут оста­ет­ся по­ло­ви­на ато­мов изо­то­па А, сле­до­ва­тель­но, по­сле­до­ва­тель­ность зна­че­ний масс изо­то­па А пред­став­ля­ет собой гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном (масса изо­то­па А в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни) и зна­ме­на­те­лем Най­дем массу изо­то­па А через 36 минут, то есть после че­ты­рех цик­лов по­лу­рас­па­да. Это пятый член гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, то есть

Тогда масса об­ра­зо­вав­ше­го­ся изо­то­па Б со­ста­вит 400 − 25  =  375 мг.

Ответ: 375.