PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рис.). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причем точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD ⊥ EF.
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что
Докажите, что если 
то 
.
На медиане KF треугольника MKP отмечена точка E. Докажите, что если 
то 
Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки AB и CD равны.
Два равных прямоугольника имеют общую вершину O (см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOK и COM равны.
Докажите, что у равных треугольников ABC и 
биссектрисы, проведенные из вершины 
и 
равны.
В треугольнике ABC угол 
равен 36°, 
— биссектриса. Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.
Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты 
и 
Докажите, что углы 
и 
равны.
Треугольники BEC и BDA равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому 
и 
они прямоугольные, углы 
равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда 
и AEB, углы AEB и 
равны как вертикальные, из предыдущей пропорции 
следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
Угол 
прямой, следовательно, он опирается на диаметр, тогда AB − диаметр окружности. Угол 
прямой и опирается на диаметр, следовательно, точка 
лежит на этой же окружности. Тогда углы 
и 
равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.
Значит, 
и треугольники BDA и BEC равны по первому признаку равенства треугольников. Значит, 
по стороне и двум прилежащим к ней углам:
по свойству углов равнобедренного треугольника;
по определению биссектрисы и равенству углов при основании равнобедренного треугольника.
как соответствующие элементы равных треугольников.
и 
60° 
как соответствующие стороны равных треугольников.
и 
Рассмотрим углы между ними: 
— биссектрисы треугольников ABC и 
В треугольниках ABK и 
соответственно равны стороны AB и 
а также углы B и 
BAK и 
Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Значит, 
что и требовалось доказать.
= 72°. Значит, 
= 36°. Таким образом, углы ABD и BAD равны, поэтому треугольник ABD — равнобедренный.
и 
Таким образом, точки A, C, O и H лежат на одной окружности.
Площадь треугольника ABM 
площадь треугольника BMC 
Отрезки AM и MC равны, следовательно, 
и 
имеют общую гипотенузу BC. Поэтому точки 
лежат на одной окружности. Углы