Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Рассмотрим треугольники
и 
они прямоугольные, углы и 
равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда 
Рассмотрим треугольники 
и AEB, углы AEB и 
равны как вертикальные, из предыдущей пропорции 
следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
См. также.
Аналогичное задание с тупоугольным треугольником: 340854.
Примечание.
Увидеть угол AA1B1 будет легче, если соединить точки A1 и В1.
Приведем решение Миши Чуприкова.
Опишем окружность вокруг треугольника 
Угол 
прямой, следовательно, он опирается на диаметр, тогда AB − диаметр окружности. Угол 
прямой и опирается на диаметр, следовательно, точка 
лежит на этой же окружности. Тогда углы 
и 
равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.