Ре­ше­ние. Ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе, равна ее по­ло­ви­не:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABC и BMN: углы BMN и BAC равны как со­от­вет­ствен­ные при па­рал­лель­ных пря­мых, угол B  — общий. Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, от­ку­да Най­дем от­ре­зокBN:

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Углы DCM и BAM равны как на­крест ле­жа­щие, углы DMC и BMA равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки DMC и BMA по­доб­ны по двум углам.

Зна­чит, Сле­до­ва­тель­но,

От­ку­да

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Угол PBK  — впи­сан­ный, он равен 90° и опи­ра­ет­ся на дугу KHP, сле­до­ва­тель­но, дуга KHP равна 180°, зна­чит, хорда PK  — диа­метр окруж­но­сти, тогда BH  =  PK  =  14.

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. Ме­ди­а­на в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, по­это­му:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим се­ре­ди­ну сто­ро­ны BC за K. Про­длим MK на свою длину за точку K до точки L. Че­ты­рех­уголь­ник BLCM  — па­рал­ле­ло­грамм, по­то­му что и Зна­чит, тогда по­это­му че­ты­рех­уголь­ник ABLC  — впи­сан­ный. Тогда

от­ку­да

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Углы АКС и АЕС равны, т. к. опи­ра­ют­ся на одну дугу окруж­но­сти; сле­до­ва­тель­но, ∠ВКС = ∠ВЕА, как смеж­ные с ними. Из че­ты­рех­уголь­ни­ка ВКDЕ: Из ВКС: ∠КСВ = 180° − 125° − 20°  =  35°.

Ответ: 35°.

Ре­ше­ние. Пусть A₁, B₁ и C₁  — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми BC, AC и AB со­от­вет­ствен­но. Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти обо­зна­чим r. Тогда AC₁  =  AB₁, BC₁  =  BA₁ и CA₁  =  CB₁  =  r. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 2AC₁ + 2BC₁ + 2CA₁  =  2AB + 2r. По­лу­пе­ри­метр p равен AB + r.

По фор­му­ле пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка на­хо­дим

Ответ: 54.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть A₁, B₁ и C₁  — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми BC, AC и AB со­от­вет­ствен­но. Пусть AC₁  =  AB₁  =  x, BC₁  =  BA₁  =  y. Тогда AC  =  x + r, BC  =  y + r, AB  =  x + y. Учи­ты­вая, что r  =  3 и x + y  =  15, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­чим

Сле­до­ва­тель­но, один из ка­те­тов тре­уголь­ни­ка равен 9 + 3  =  12, вто­рой катет равен 6 + 3  =  9, и пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

Ре­ше­ние. Так как вы­со­та AD, про­ве­ден­ная к ме­ди­а­не BM делит ее по­по­лам, то тре­уголь­ник ABM яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, по­это­му AB  =  AM  =  4. Так как BM  — ме­ди­а­на, то AM  =  MC, таким об­ра­зом, AC  =  2AM  =  8.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Углы DCM и BAM равны как на­крест ле­жа­щие, углы DMC и BMA равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки DMC и BMA по­доб­ны по двум углам.

Зна­чит, Сле­до­ва­тель­но,

От­ку­да

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Пусть в тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок BM слу­жит ме­ди­а­ной, при этом Возь­мем на про­дол­же­нии от­рез­ка BM точку D так, что Тогда тре­уголь­ни­ки ABM и CDM равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Зна­чит,   =  90°. По­это­му тре­уголь­ник   — пря­мо­уголь­ный с углом CBD, рав­ным 30°. Сле­до­ва­тель­но,

При­ве­дем ре­ше­ние Марии Ва­си­льев­ны.

Пусть в тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок BM слу­жит ме­ди­а­ной, при этом   =  90°,   =  30°.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABM:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка MBC:

Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABM и MBC равны, по­сколь­ку BM  — ме­ди­а­на.

Тогда от­ку­да сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 1:2.

Ре­ше­ние. Пусть вы­со­та BH тре­уголь­ни­ка ABC раз­би­ва­ет ос­но­ва­ние AC на от­рез­ки и вы­со­та AK пе­ре­се­ка­ет вы­со­ту BH в точке M, при­чем Тре­уголь­ни­ки AHM, BKM и BHC по­доб­ны, по­сколь­ку они пря­мо­уголь­ные и пер­вые два имеют рав­ные углы (углы AMH и BMK равны как вер­ти­каль­ные), а вто­рые два имеют общий угол. По­лу­ча­ем про­пор­цию

Сле­до­ва­тель­но, и

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Углы DCM и BAM равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, углы DMC и BMA равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки DMC и BMA по­доб­ны по двум углам. Зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но,

Тогда а зна­чит,

Ответ: 35.

Ре­ше­ние. Угол PBK  — впи­сан­ный, он равен 90° и опи­ра­ет­ся на дугу KHP, сле­до­ва­тель­но, дуга KHP равна 180°, зна­чит, хорда PK  — диа­метр окруж­но­сти и

Ответ: 11.