Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABE и CDF равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу (AB = CD как про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма;  ∠BAE = ∠DCF как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD и се­ку­щей AC). Сле­до­ва­тель­но, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это пер­пен­ди­ку­ля­ры к одной пря­мой. Таким об­ра­зом, в че­ты­рех­уголь­ни­ке BFDE про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны, по­это­му BFDE  — па­рал­ле­ло­грамм.

По усло­вию по­это­му тре­уголь­ник BDE яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным. Пусть угол при ос­но­ва­нии этого тре­уголь­ни­ка равен x, тогда Тре­уголь­ни­ки BEC и BDA равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, по­это­му и тре­уголь­ник ABC  —рав­но­бед­рен­ный.

Тре­уголь­ни­ки АОВ и СОD равны по двум сто­ро­нам и углу между ними (AO  =  BO  =  CO  =  DO как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, ∠AOB = ∠COD по усло­вию). Сле­до­ва­тель­но, вы­со­ты OK и OL равны как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков.

Про­ве­дем LF па­рал­лель­но CD (см. рис.). Тогда BL = LC = CD. Сле­до­ва­тель­но, па­рал­ле­ло­грамм CDFL яв­ля­ет­ся ром­бом. Диа­го­наль DL ромба CDFL яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла CDA.

При­ве­дем ре­ше­ние Нелли Хуш­мах­ма­до­вой.

В тре­уголь­ни­ке LCD LC=CD, сле­до­ва­тель­но, углы CLD и CDL равны. Углы CLD и LDA равны как на­крес­тле­жа­щие углы при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей, сле­до­ва­тель­но, угол LDA равен углу CDL, тогда DL  — бис­сек­три­са угла CDA.

Пусть ABCD  — тра­пе­ция, M и N  — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний AD и BC со­от­вет­вен­но.

Пусть AM = MD = a и BN = NC = b, а h  — вы­со­та тра­пе­ции. Тогда пло­щадь каж­дой из ча­стей, на ко­то­рые от­ре­зок MN делит тра­пе­цию, равна то есть, эти части рав­но­ве­ли­ки.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть h  — длина вы­со­ты тра­пе­ции. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABM равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MCD, по­сколь­ку вы­со­ты, про­ве­ден­ные к ос­но­ва­ни­ям AF и FD равны, а ос­но­ва­ния AM и MD равны. Ана­ло­гич­но равны пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков BNM и По­ка­жем, что пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ков ABNM и MNCD равны: