PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 14, CF : DF = 4 : 3.
Решение. Проведем построения и введем обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники KFC и ACD, угол C — общий, углы CAD и CKF равны друг другу как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, треугольники KFC и ACD подобны. Откуда
поэтому 
Аналогично, из треугольников EKA и ABC получаем, что
Таким образом, 
Ответ: 30.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису до пересечения с прямой BC в точке
Углы CKD и ADK равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, 
следовательно, треугольник CKD — равнобедренный: 
Найдем BK:
Углы KMB и AMD равны как вертикальные. Рассмотрим треугольники KMB и AMD: стороны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вертикальные, углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники равны, откуда 
Проведем прямую CP, параллельную AB. Прямая AB параллельна CP, прямая AD параллельна BC, следовательно, четырехугольник ABCP — параллелограмм, откуда 
Найдем PD:
Рассмотрим треугольник CPD, заметим, что
Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник CPD — прямоугольный, следовательно, CP — высота трапеции. Найдем площадь трапеции:
Ответ: 250.
Примечание.
Заметим, что в начале решения задачи не было известно, что трапеция окажется прямоугольной, поэтому на рисунке можно было бы изобразить произвольную трапецию. Однако в ходе решения задачи выяснилось, что трапеция прямоугольная, поэтому рисунок соответствует результату решения.
Приведем примечание Сергея Пепеляева.
Заметим, что найти AB можно было следующим образом. Проведем MN — среднюю линию трапеции. Треугольник MND равнобедренный, следовательно, 
Средняя линия равна полусумме оснований трапеции, тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Основания трапеции относятся как 1 : 3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, равен среднему гармоническому ее оснований. Пусть
тогда 
и 
Поскольку треугольники BOC и AOD подобны, их высоты 
и 
проведенные соответственно к сторонам AD и BC, относятся как 3 : 1. Тем самым, для отношения искомого отношения площадей трапеций EBCF и AEFD имеем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения задачи верный, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения правильный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка или описка вычислительного характера. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.
Решение. Проведем построения и введем обозначения, как показано на рисунке. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:
Периметр трапеции — сумма длин всех сторон:
Следовательно, 
Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:
Высоты BK, TP и CH равны. Из прямоугольного треугольника CHD найдем HD:
Рассмотрим треугольники ABK и CHD, они прямоугольные, AB равно CD, BK равно CH, следовательно, треугольники равны, откуда 
Прямые BK и CH перпендикулярны прямой AD, поэтому они параллельны, BK равно CH, следовательно, четырехугольник BCHK — параллелограмм, по признаку параллелограмма, откуда 
Рассмотрим выражение для отрезка AD:
Получаем систему уравнений на отрезки AD и ВС:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC, углы CAD и BCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых, углы BOC и AOD равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны. Откуда:
Высота 
Значит, искомое расстояние 
Ответ: 1,8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Четырехугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причем ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.
Решение. Проведем через точку D прямую, параллельную диагонали AC. Дуги AL и CD равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды:
Вертикальные углы AKB и CKD равны. Углы CKD и LDK равны как накрест лежащие: 
Четырехугольник ABDL вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна 180°: 
Рассмотрим треугольник ABL. По теореме косинусов
Найдем радиус описанной вокруг треугольника ABL окружности по теореме синусов:
Ответ: 
Передвинем хорду CD так, чтобы она стала параллельна стороне AB (см. рис.). Заметим, что при таком движении угол AKB остается равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг AB и 
Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги AD и BC равны. Углы ACD и BDC равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник KDC — равнобедренный:
Все углы треугольника KDC равны 60°, следовательно, треугольник 
Аналогично можно показать, что треугольник AKB — равносторонний, откуда 
В треугольнике BDC находим 
По теореме косинусов:
По теореме синусов: 
Приведем другое решение.
Рассмотрим треугольник BKC, сумма углов треугольника равна 180°: 
Углы AKB и CKB являются смежными, следовательно, 
откуда:
Пусть R — радиус описанной окружности, угол BCA обозначим как 
Рассмотрим треугольник BCA, он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
Аналогично, из треугольника 
Разделим CD на 
Откуда:
Найдем 
Таким образом, радиус описанной окружности равен:
Приведем еще одно решение.
Углы ABD и ACD равны, поскольку опираются на одну дугу. Пусть 
В треугольнике KCD по теореме синусов
В треугольнике ABK по теореме синусов
В треугольнике AKD по теореме косинусов
В треугольнике ACD по теореме синусов
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Углы при одном из оснований трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 1. Найдите основания трапеции.
Решение. Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке
В треугольнике AKD сумма углов KAD и KDA равна 90°, следовательно, величина 
Значит, треугольник AKD — прямоугольный. Рассмотрим треугольник AKD, он прямоугольный, следовательно, центр описанной окружности — середина гипотенузы, то есть точка 
Значит, 
Рассмотрим треугольники AKF и GKO, угол AKF — общий, углы KGO и KAF равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия равен 
Аналогично, подобны треугольники FKD и OKH, их коэффициент подобия равен Покажем, что отрезки GO и OH равны: 
Рассмотрим треугольник GKH, он прямоугольный, аналогично треугольнику AKF точка O — центр описанной окружности треугольника GKH, откуда 
Аналогично, в треугольнике BKC — 
Получаем: 
откуда 
Значит, 
Отрезок GH — средняя линия трапеции, следовательно, 
откуда 
Ответ: 10; 12.
Приведем другое решение.
Проведем из центра верхнего основания прямые, параллельные боковым сторонам трапеции. Углы BAL и ELM равны как соответственные при параллельных прямых. Аналогично равны углы EML и
Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда получаем, что 
Рассмотрим четырехугольник 
AB параллельно EL, BE параллельно AL, значит, ABEL — параллелограмм, откуда 
Аналогично 
то есть 
Покажем, что EF — медиана треугольника 
Медиана прямоугольного треугольника проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, значит, 
Заметим, что 
а 
Полусумма оснований трапеции равна средней линии:
Таким образом, получаем: 
Примечание.
Заметим, что при решении задачи предполагалось, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, равен 11, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1. Предлагаем читателям самостоятельно убедиться в том, что обратная конфигурация (при которой отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен 1, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 11), невозможна.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 6.
Решение. Проведем перпендикуляры: из точки K к сторонам AB, AD и BC в точки L, H и M соответственно.
Треугольники LAK и KAH равны по двум углам и стороне, аналогично равны треугольники BLK и BMK. Тогда KL = KH = KM = 6, то есть MH = 12. Найдем площадь параллелограмма:
Ответ: 72.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |