PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 14, CF : DF = 4 : 3.
Решение. Проведем построения и введем обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники KFC и ACD, угол C — общий, углы CAD и CKF равны друг другу как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, треугольники KFC и ACD подобны. Откуда
поэтому 
Аналогично, из треугольников EKA и ABC получаем, что
Таким образом, 
Ответ: 30.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 28.
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Поскольку
и 
получаем, что HKOL — параллелограмм, следовательно, углы KHL и KOL равны. Рассмотрим треугольники ABC и EBF, угол EBF — общий, углы BEF и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, углы BFE и BCA — аналогично, следовательно, треугольники ABC и BEF подобны по двум углам. Откуда 
Аналогично подобны треугольники ABD и AEH, откуда 
Пусть сторона ромба равна a, а длина короткой диагонали равна d. Сложим два полученных уравнения:
Площадь ромба можно найти как произведение сторон на синус угла между ними: 
Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними:
Найдем отношение площадей ромба и параллелограмма:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису до пересечения с прямой BC в точке
Углы CKD и ADK равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, 
следовательно, треугольник CKD — равнобедренный: 
Найдем BK:
Углы KMB и AMD равны как вертикальные. Рассмотрим треугольники KMB и AMD: стороны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вертикальные, углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники равны, откуда 
Проведем прямую CP, параллельную AB. Прямая AB параллельна CP, прямая AD параллельна BC, следовательно, четырехугольник ABCP — параллелограмм, откуда 
Найдем PD:
Рассмотрим треугольник CPD, заметим, что
Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник CPD — прямоугольный, следовательно, CP — высота трапеции. Найдем площадь трапеции:
Ответ: 250.
Примечание.
Заметим, что в начале решения задачи не было известно, что трапеция окажется прямоугольной, поэтому на рисунке можно было бы изобразить произвольную трапецию. Однако в ходе решения задачи выяснилось, что трапеция прямоугольная, поэтому рисунок соответствует результату решения.
Приведем примечание Сергея Пепеляева.
Заметим, что найти AB можно было следующим образом. Проведем MN — среднюю линию трапеции. Треугольник MND равнобедренный, следовательно, 
Средняя линия равна полусумме оснований трапеции, тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Основания трапеции относятся как 1 : 3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, равен среднему гармоническому ее оснований. Пусть
тогда 
и 
Поскольку треугольники BOC и AOD подобны, их высоты 
и 
проведенные соответственно к сторонам AD и BC, относятся как 3 : 1. Тем самым, для отношения искомого отношения площадей трапеций EBCF и AEFD имеем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения задачи верный, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения правильный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка или описка вычислительного характера. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырехугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36.
Решение. По свойству равнобедренной трапеции
следовательно, треугольники ABC и DCB равны. Так как AB = 
треугольники ABC и DCB равнобедренные, следовательно, BH и CE — соответствующие медианы этих треугольников. Значит, 
Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, следовательно, 
и прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому, BCEH — трапеция. Проведем HM — высоту трапеции BCEH и AN — высоту трапеции ABCD. Прямоугольные треугольники ANC и HMC подобны, значит, 
Площадь трапеции ABCD: 
Площадь трапеции 
Ответ: 9.
Приведем решение Богдана Якушева.
По свойству равнобедренной трапеции следовательно, треугольники ABC и DCB равны. Так как AB = треугольники ABC и DCB равнобедренные, следовательно, BH и CE — соответствующие медианы этих треугольников. Значит, Пусть CH = a, тогда AC = 2a, и пусть α — угол между диагоналями трапеции.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, тогда:
Следовательно, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции 
и 
Решение. Достроим трапецию до треугольника и введем обозначения, как показано на рисунке. В силу подобия треугольников PBC, PEF и PAD имеем:
Складывая равенства, получаем 
откуда
Ответ: 25.
Примечание.
Отметим, что найденная длина отрезка является средним квадратичным оснований. О других средних в трапеции и соотношении между ними см. задание 511264 на портале Решу ЕГЭ.
Приведем другое решение.
Продлим боковые стороны трапеции AB и CD до пересечения в точке F. Треугольник BFC подобен треугольнику AFD, тогда
Пусть 
тогда 
Отрезок KL делит трапецию ABCD на два четырехугольника равной площади, тогда 
откуда
Треугольник KFL подобен треугольнику BFC, следовательно, 
откуда
тогда 
Приведем решение, построив вспомогательный параллелограмм.
Пусть 
Проведем отрезок KL, делящий трапецию на две равновеликие трапеции и обозначим его длину x. Проведем из вершины C высоту CH и отрезок CE, параллельный стороне AB. Точки пересечения этих отрезков с отрезком KL назовем M и N соответственно. Из условия следует, что
Из подобия треугольников NCL и ECD следует, что
откуда 
Следовательно,
Разделим обе части равенства на CH и выразим х:
Подставляя 
и 
получаем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.
Решение. Проведем построения и введем обозначения, как показано на рисунке. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:
Периметр трапеции — сумма длин всех сторон:
Следовательно, 
Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:
Высоты BK, TP и CH равны. Из прямоугольного треугольника CHD найдем HD:
Рассмотрим треугольники ABK и CHD, они прямоугольные, AB равно CD, BK равно CH, следовательно, треугольники равны, откуда 
Прямые BK и CH перпендикулярны прямой AD, поэтому они параллельны, BK равно CH, следовательно, четырехугольник BCHK — параллелограмм, по признаку параллелограмма, откуда 
Рассмотрим выражение для отрезка AD:
Получаем систему уравнений на отрезки AD и ВС:
Рассмотрим треугольники AOD и BOC, углы CAD и BCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых, углы BOC и AOD равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны. Откуда:
Высота 
Значит, искомое расстояние 
Ответ: 1,8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Прямая, параллельная основаниям AD и BC трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и 
соответственно. Найдите длину отрезка EF, если 
Решение. 1) Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам:
a) 
как вертикальные;
б) 
как внутренние накрест лежащие углы при 
и секущей BD. Имеем:
2) Треугольники EBO и ABD по двум углам:
а) 
— общий;
б) 
как соответственные углы при 
и секущей AB:
3) Аналогично, из подобия треугольников ACD и COF находим, что 
4) 
Ответ: 12 см.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Четырехугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причем ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.
Решение. Проведем через точку D прямую, параллельную диагонали AC. Дуги AL и CD равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды:
Вертикальные углы AKB и CKD равны. Углы CKD и LDK равны как накрест лежащие: 
Четырехугольник ABDL вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна 180°: 
Рассмотрим треугольник ABL. По теореме косинусов
Найдем радиус описанной вокруг треугольника ABL окружности по теореме синусов:
Ответ: 
Передвинем хорду CD так, чтобы она стала параллельна стороне AB (см. рис.). Заметим, что при таком движении угол AKB остается равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг AB и 
Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги AD и BC равны. Углы ACD и BDC равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник KDC — равнобедренный:
Все углы треугольника KDC равны 60°, следовательно, треугольник 
Аналогично можно показать, что треугольник AKB — равносторонний, откуда 
В треугольнике BDC находим 
По теореме косинусов:
По теореме синусов: 
Приведем другое решение.
Рассмотрим треугольник BKC, сумма углов треугольника равна 180°: 
Углы AKB и CKB являются смежными, следовательно, 
откуда:
Пусть R — радиус описанной окружности, угол BCA обозначим как 
Рассмотрим треугольник BCA, он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
Аналогично, из треугольника 
Разделим CD на 
Откуда:
Найдем 
Таким образом, радиус описанной окружности равен:
Приведем еще одно решение.
Углы ABD и ACD равны, поскольку опираются на одну дугу. Пусть 
В треугольнике KCD по теореме синусов
В треугольнике ABK по теореме синусов
В треугольнике AKD по теореме косинусов
В треугольнике ACD по теореме синусов
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 56.
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Поскольку
и получаем, что HKOL — параллелолграмм, следовательно, углы KHL и KOL равны. Рассмотрим треугольники ABC и EBF, угол EBF — общий, углы BEF и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, углы BFE и BCA — аналогично, следовательно, треугольники ABC и BEF подобны по двум углам. Откуда Аналогично подобны треугольники ABD и AEH, откуда Пусть сторона ромба равна a, а длина короткой диагонали равна 
Сложим два полученных уравнения:
Площадь ромба можно найти как произведение сторон на синус угла между ними: Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними:
Найдем отношение площадей ромба и параллелограмма:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Углы при одном из оснований трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 1. Найдите основания трапеции.
Решение. Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке
В треугольнике AKD сумма углов KAD и KDA равна 90°, следовательно, величина 
Значит, треугольник AKD — прямоугольный. Рассмотрим треугольник AKD, он прямоугольный, следовательно, центр описанной окружности — середина гипотенузы, то есть точка 
Значит, 
Рассмотрим треугольники AKF и GKO, угол AKF — общий, углы KGO и KAF равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия равен 
Аналогично, подобны треугольники FKD и OKH, их коэффициент подобия равен Покажем, что отрезки GO и OH равны: 
Рассмотрим треугольник GKH, он прямоугольный, аналогично треугольнику AKF точка O — центр описанной окружности треугольника GKH, откуда 
Аналогично, в треугольнике BKC — 
Получаем: 
откуда 
Значит, 
Отрезок GH — средняя линия трапеции, следовательно, 
откуда 
Ответ: 10; 12.
Приведем другое решение.
Проведем из центра верхнего основания прямые, параллельные боковым сторонам трапеции. Углы BAL и ELM равны как соответственные при параллельных прямых. Аналогично равны углы EML и
Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда получаем, что 
Рассмотрим четырехугольник 
AB параллельно EL, BE параллельно AL, значит, ABEL — параллелограмм, откуда 
Аналогично 
то есть 
Покажем, что EF — медиана треугольника 
Медиана прямоугольного треугольника проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, значит, 
Заметим, что 
а 
Полусумма оснований трапеции равна средней линии:
Таким образом, получаем: 
Примечание.
Заметим, что при решении задачи предполагалось, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, равен 11, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1. Предлагаем читателям самостоятельно убедиться в том, что обратная конфигурация (при которой отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен 1, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 11), невозможна.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 6.
Решение. Проведем перпендикуляры: из точки K к сторонам AB, AD и BC в точки L, H и M соответственно.
Треугольники LAK и KAH равны по двум углам и стороне, аналогично равны треугольники BLK и BMK. Тогда KL = KH = KM = 6, то есть MH = 12. Найдем площадь параллелограмма:
Ответ: 72.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |