СДАМ ГИА: РЕШУ ОГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика
математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 26 № 339675

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

 

Для решения этой задачи необходимо знание формул тригонометрии.

Решение.

Проведём через точку прямую, параллельную диагонали Дуги и равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды:

Вертикальные углы и равны. Углы и равны как накрест лежащие:

Четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противолежащих углов равны 180°, откуда

Рассмотрим треугольник По теореме косинусов:

 

 

Найдём радиус описанной вокруг треугольника окружности по теореме синусов:

 

Ответ:

 

Приведём другое решение.

 

Передвинем хорду так, чтобы она стала параллельна стороне (см. рисунок). Заметим, что при таком движении угол остаётся равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг и Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги и равны. Углы и равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник — равнобедренный:

 

 

Все углы треугольника равны 60°, следовательно, треугольник — равносторонний, значит, Аналогично можно показать, что треугольник — равносторонний, откуда

Рассмотрим треугольник По теореме косинусов:

 

По теореме синусов:

 

Приведём другое решение.

 

Рассмотрим треугольник сумма углов треугольника равна 180°: Углы и являются смежными, следовательно, откуда:

 

 

Пусть — радиус описанной окружности, угол обозначим как Рассмотрим треугольник он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:

 

 

Аналогично, из треугольника

 

 

Разделим на

 

Откуда:

 

Найдём

 

Таким образом, радиус описанной окружности равен:

 

Раздел кодификатора ФИПИ: Теорема косинусов, Теорема синусов