СДАМ ГИА: РЕШУ ОГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика
математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 26 № 339675

Четырёхугольник ABCD со сто­ро­на­ми AB = 25 и CD = 16 впи­сан в окружность. Диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, причём ∠AKB=60°. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, опи­сан­ной около этого четырёхугольника.

 

Для ре­ше­ния этой за­да­чи необходимо зна­ние формул тригонометрии.

Решение.

Проведём через точку прямую, параллельную диагонали Дуги и равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды:

Вертикальные углы и равны. Углы и равны как накрест лежащие:

Четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противолежащих углов равны 180°, откуда

Рассмотрим треугольник По теореме косинусов:

 

 

Найдём радиус описанной вокруг треугольника окружности по теореме синусов:

 

Ответ:

 

Приведём другое решение.

 

Передвинем хорду так, чтобы она стала параллельна стороне (см. рисунок). Заметим, что при таком движении угол остаётся равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг и Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги и равны. Углы и равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник — равнобедренный:

 

 

Все углы треугольника равны 60°, следовательно, треугольник — равносторонний, значит Аналогично можно показать, что треугольник — равносторонний, откуда

Рассмотрим треугольник По теореме косинусов:

 

По теореме синусов:

 

Приведём другое решение.

 

Рас­смот­рим тре­уголь­ник сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°: Углы и яв­ля­ют­ся смежными, следовательно, откуда:

 

 

Пусть — ра­ди­ус опи­сан­ной окружности, угол обо­зна­чим как Рас­смот­рим тре­уголь­ник он впи­сан в окружность, следовательно, по тео­ре­ме синусов:

 

 

Аналогично, из тре­уголь­ни­ка

 

 

Разделим на

 

Откуда:

 

Найдём

 

Таким образом, ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен: