Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB: он рав­но­бед­рен­ный, его бо­ко­вые сто­ро­ны равны ра­ди­у­су.

Углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го все углы равны,  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник; зна­чит, ра­ди­ус равен 6.

Ответ: 6.

Тре­уголь­ник MON — рав­но­бед­рен­ный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.

Ответ: 144.

Дуга FD, не со­дер­жа­щая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, по­это­му ∠DEF = 71°.

Ответ: 71.

Так как ∠AOC и ∠AOB  — смеж­ные, ∠AOB = 180° − ∠AOC = 84°. Цен­траль­ный угол равен дуге, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, по­это­му гра­дус­ная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB  — впи­сан­ный и равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, по­это­му ∠ACB = 42°.

Ответ: 42.

При­ве­дем ре­ше­ние Ар­ту­ра Ах­ме­тья­но­ва.

Тре­уголь­ник AOC рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку AO  =  OC как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, тогда

При­ве­дем ре­ше­ние Ге­ор­гия Во­ро­бье­ва.

Угол AOC  — цен­траль­ный, угол ABC  — впи­сан­ный, опи­ра­ю­щий­ся на ту же дугу, тогда ∠ABC  =  ∠AOC : 2  =  48°. Угол CAB  — пря­мой, по­сколь­ку опи­ра­ет­ся на диа­метр. Тогда из тре­уголь­ни­ка CAB имеем:

Пусть R  — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти. Так как окруж­ность опи­са­на во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, то ее центр лежит на се­ре­ди­не ги­по­те­ну­зы. Таким об­ра­зом, ги­по­те­ну­за равна 2R.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

Ответ: 6,5.