PDF-версии: 1. Тип 24 № 77 
Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники и их элементы
i
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рис.). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.
Решение. Прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу (AB = CD как противолежащие стороны параллелограмма; ∠BAE = ∠DCF как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это перпендикуляры к одной прямой. Таким образом, в четырехугольнике BFDE противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому BFDE — параллелограмм.
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники
то есть, эти части равновелики.
Покажем, что площади четырехугольников ABNM и MNCD равны:
подобен 
как противоположные углы параллелограмма, 
как прямые углы, значит, треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников.
и 
Следовательно, 
Тогда треугольники AOB и COE равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, 
как соответствующие стороны равных треугольников.
CK — биссектриса 
по стороне и двум прилежащим к ней углам:
— по свойству противоположных сторон параллелограмма;
по свойству противоположных углов параллелограмма;
по определению биссектрисы и равенству противоположных углов параллелограмма.
как соответствующие элементы равных треугольников.
— середины сторон 
и DA параллелограмма ABCD соответственно
т. к. L — середина BC; 
т. к. 
как стороны ромба.
В равнобедренной трапеции 
Значит, треугольники BMA и CMD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, 
Углы BKM и NKD равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, 
Рассмотрим треугольники BMK и KDN, они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно, эти треугольники равны, а значит равны отрезки MK и KN. Таким образом, 
а площадь треугольника 
Поскольку 
и 
по теореме Фалеса получаем, что 
Следовательно, EF — средняя линия. Пусть h — длина высоты трапеции. Площадь трапеции равна:
следовательно, эти треугольники подобны по двум парам пропорциональных сторон и углу между ними.
Равенство 
можно представить в виде 
Рассмотрим треугольники ABO и COD, углы AOB и COD равны как вертикальные и имеется равенство 
следовательно, треугольники подобны. Поэтому углы ABD и ACD равны.
Площадь треугольника CAD равна 
Поскольку высоты BH и CK равны, равны и площади треугольников ABD и 
Покажем, что площади треугольников AOB и COD равны:
Поскольку стороны AB и CD параллельны, HK также перпендикулярно и стороне 
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольники AOB и COD, BO равно OD, AO равно OC, углы AOB и COD равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны. Поэтому равны их соответствующие элементы, то есть 
Рассмотрим треугольники OPH и OKT, они прямоугольные, OH равно OK, углы POH и KOT равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны, поэтому OP равно 
Рассмотрим треугольники BOP и TOD, OP равно OT, OB равно OD, углы POB и TOD равны как вертикальные, следовательно, данные треугольники равны, и BP = DT.
AE — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы BEA и EAD равны как накрест лежащие. Поскольку 
треугольник ABE — равнобедренный, откуда 
Аналогично, треугольник CED — равнобедренный и 
Стороны AB и CD равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно: 
Таким образом, точка E — середина стороны 
тогда ∠CBN = ∠CNB. Углы CNB и NBA — накрестлежащие при пересечении параллельных прямых CD и AB секущей BN, следовательно, ∠NBA = ∠CNB = ∠CBN. Значит, BN — биссектриса угла ABC.