PDF-версии: 
Постройте график функции 
и определите, при каких значениях параметра c прямая 
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение. Пусть
тогда числитель принимает вид 
По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней уравнения 
равна 13, а их произведение — 36. Тем самым, это числа 4 и 9. Тогда по формуле 
получаем: 
Возвращаясь к исходной переменной, имеем:
Сократим дробь: при 
и 
функция принимает вид:
ее график — парабола c выколотыми точками 
и 
Выделим полный квадрат:
Следовательно, искомая парабола получается сдвигом графика функции y = x2 на 
— см. рис.
Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты 
ординаты выколотых точек суть 
и 
Поэтому 
или 
Ответ: или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
График построен правильно, верно указаны все значения  , при которых прямая имеет с графиком только одну общую точку | 2 |
| График построен правильно, указаны не все верные значения | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
или или 
имеет с параболой 
ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении p.
на 
— см. рис. 
Прямая 
откуда 
Подставив значение параметра в уравнение, находим 
изображена на рисунке.
, при которых прямая 
и ее вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую 
Парабола проходит через точку B, подставим координаты точки в уравнение параболы: 
получаем: 
Уравнение параболы: 
Абсциссы точек пересечения с прямой 
найдем, подставив 
Координата x вершины параболы находится по формуле 
Координата y вершины параболы найдется подстановкой 
в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов 
и 
Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы, получим систему из трех уравнений:
и
расположены по разные стороны от 
вершины находится подстановкой 
и 
расположены по одну сторону от 
и определите, при каких значениях m прямая 
имеет с графиком ровно две общие точки.
с выколотыми точками 
и 
Построим график функции (см. рис.):
И определите, при каких значениях m прямая 
равны −1 и −2 соответственно, тогда по формуле 
Имеем: 
с выколотой точкой 
(см. рис.)
и 
и определите, при каких значениях m прямая 
равны соответственно: −3 и −4; −1 и 2; −1 и −4. Тогда по формуле 
получаем:
с выколотыми точками 
и определите, при каких значениях k прямая 
имеет с графиком ровно одну общую точку.
с выколотой точкой 
(см. рис.)
и в какой-то второй точке.
равен нулю. Тогда
точка касания 
а если 
точка касания 
При этом дискриминант этого уравнения будет больше нуля, значит, еще одно решение точно есть.
, при которых прямая 
получается из графика функции 
и 
строятся по точкам.