Так как точки M, N, K - се­ре­ди­ны сто­рон и тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний, то от­рез­ки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все углы равны, таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки AMK, NMB, CNK равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Тогда MN  =  MK  =  KN, зна­чит, тре­уголь­ник MNK  — рав­но­сто­рон­ний.

При­ве­дем ре­ше­ние Ксе­нии Вла­со­вой.

Точки M, N, K  — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но, сле­до­ва­тель­но, MN, MK и NK  — сред­ние линии тре­уголь­ни­ка ABC, тогда

По усло­вию AB  =  AC  =  BC, сле­до­ва­тель­но, NK  =  MN  =  MK, тогда тре­уголь­ник MNK рав­но­сто­рон­ний.

Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний, точки   — се­ре­ди­ны сто­рон, сле­до­ва­тель­но:

Также углы A, B и равны между собой, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AMK, MBN и KNC, они имеют по паре рав­ных сто­рон, а также рав­ный угол между этими сто­ро­на­ми, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, то есть тре­уголь­ник MKN  — рав­но­сто­рон­ний.

Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний, точки   — се­ре­ди­ны сто­рон, сле­до­ва­тель­но:

Также углы A, B и равны между собой, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AMK, MBN и KNC, они имеют по паре рав­ных сто­рон, а также рав­ный угол между этими сто­ро­на­ми, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны. За­ме­тим, также, что эти тре­уголь­ни­ки рав­но­бед­рен­ные и угол при вер­ши­не равен 60°, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­ни­ях равны: то есть все углы в этих тре­уголь­ни­ках равны 60°, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки рав­но­сто­рон­ние. По­это­му то есть BMKN  — ромб.

Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний, точки   — се­ре­ди­ны сто­рон, сле­до­ва­тель­но:

Также углы A, B и равны между собой, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AMK, MBN и KNC, они имеют по паре рав­ных сто­рон, а также рав­ный угол между этими сто­ро­на­ми, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны. За­ме­тим, также, что эти тре­уголь­ни­ки рав­но­бед­рен­ные и угол при вер­ши­не равен 60°, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­ни­ях равны: то есть все углы в этих тре­уголь­ни­ках равны 60°, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки рав­но­сто­рон­ние. По­это­му то есть AMNK  — ромб.

Точки M и N  — се­ре­ди­ны рав­ных сто­рон AB и BC со­от­ветс­вен­но, по­это­му:

Точка K  — се­ре­ди­на AC, сле­до­ва­тель­но, Углы A и равны, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AMK и KNC: сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит, равны сто­ро­ны MK и KN, по­это­му тре­уголь­ник MKN  — рав­но­бед­рен­ный.