Окружности и их элементы
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.
В окружности с центром 
проведены две равные хорды 
и 
. На эти хорды опущены перпендикуляры 
и 
. Докажите, что и равны.
В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.
Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы 
равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда 
Окружности с центрами в точках 
и 
не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы 
равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда 
Окружности с центрами в точках и 
пересекаются в точках 
и 
, причём точки и лежат по одну сторону от прямой 
. Докажите, что прямые 
и перпендикулярны.
Стороны 
и 
равны как радиусы окружности, поэтому треугольник 
— равнобедренный, следовательно, медиана 
является также высотой. Проведём медиану 
Стороны 
и 
равны как радиусы окружности, поэтому треугольник 
— равнобедренный, следовательно, медиана 
является также высотой. Прямые 
значит, они совпадают. Таким образом прямая 
Пройти тестирование по этим заданиям
Задание 25 № 341422
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.
Решение: IA и IB - радиусы окружности с центром в точке I => IA = IB => треугольник IAB - равнобедренный.
Проведем медиану IJ к стороне AB. Т.к. треугольник IAB - равнобедренный, то IJ также является высотой, проведённой AB => AB и IJ перпендикулярны, что и требовалось доказать.