Из вер­ши­ны C пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­дем ме­ди­а­ну CM и вы­со­ту CH. Тогда:

по­сколь­ку ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, равна ее по­ло­ви­не.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CHM катет CH равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы CM, по­это­му Тре­уголь­ник CMA рав­но­бед­рен­ный с углом 30°, сле­до­ва­тель­но, угол при ос­но­ва­нии Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна 90°, по­это­му

Ответ: 15°, 75°.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Возь­мем точку D на про­дол­же­нии ка­те­та AC, такую, что Тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный, его вы­со­та BC, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABD равна удво­ен­ной пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC и равна 36. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABD равна

Пер­вый слу­чай: пусть Тогда из урав­не­ния по­лу­ча­ем, что от­ку­да

Вто­рой слу­чай: пусть Тогда из урав­не­ния по­лу­ча­ем, что от­ку­да

Из вер­ши­ны C пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­дем ме­ди­а­ну CM и вы­со­ту CH. Тогда

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CHM имеем

Зна­чит,

Будем счи­тать, что точка H лежит на от­рез­ке AM. Тогда угол CMH  — внеш­ний рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BMC, зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 22,5°, 67,5°.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­ве­дем ме­ди­а­ну CM. Ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы: Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка, по­это­му:

Тогда

Сле­до­ва­тель­но, Тре­уголь­ник CMB  — рав­но­бед­рен­ный, углы при его ос­но­ва­нии равны:

По­это­му

Ответ: 22,5°; 67,5°.

Из вер­ши­ны C пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­дем ме­ди­а­ну CM и вы­со­ту CH. Тогда

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CHM катет CH равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы CM, по­это­му Тре­уголь­ник ACM  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, угол B ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка равен 15°.

Ответ: 15°, 75°.

При­ве­дем ре­ше­ние Ва­ле­рия Гри­го­рье­ва.

Сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но ка­те­та BC от­ра­зим тре­уголь­ник ABC (см. рис). По­лу­чен­ный тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный по свой­ству, Пло­щадь ABD вдвое боль­ше пло­ща­ди ABC; за­пи­шем фор­му­лу ее на­хож­де­ния:

от­ку­да тогда и