Ре­ше­ние. Спра­ва от двери будет по­став­лен пись­мен­ный стол, а к нему при­став­лен стул, зна­чит, стул от­ме­чен циф­рой 6. В глу­би­не ком­на­ты у стены пла­ни­ру­ет­ся по­ста­вить диван, а перед ним  — жур­наль­ный сто­лик, сле­до­ва­тель­но, диван от­ме­чен циф­рой 2, а жур­наль­ный сто­лик от­ме­чен циф­рой 4. В остав­шем­ся сво­бод­ным углу пла­ни­ру­ет­ся по­ста­вить крес­ло, по­это­му крес­ло от­ме­че­но циф­рой 3.

Ответ: 6243.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что чтобы по­крыть пар­кет­ной до­с­кой 0,16 м² пола, тре­бу­ет­ся 4 доски. Най­дем пло­щадь го­сти­ной:

Зна­чит, тре­бу­ет­ся доски. Сле­до­ва­тель­но, тре­бу­ет­ся упа­ко­вок с пар­кет­ной до­с­кой. Таким об­ра­зом, не­об­хо­ди­мо ку­пить 18 упа­ко­вок (если ку­пить 17 упа­ко­вок, то пар­ке­та не хва­тит на всю пло­щадь пола).

Ответ: 18.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Най­дем пло­щадь го­сти­ной:  м².

Най­дем пло­щадь одной пар­кет­ной доски:  м².

Най­дем ко­ли­че­ство пар­кет­ных досок: штук.

Тогда ко­ли­че­ство упа­ко­вок равно сле­до­ва­тель­но, надо ку­пить 18 упа­ко­вок.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на одной клет­ки равна 0,4 м. Зна­чит, пло­щадь го­сти­ной равна:

Вла­де­лец не ста­нет под­во­дить обо­грев под книж­ный шкаф, крес­ло и диван. Книж­ный шкаф за­ни­ма­ет пло­щадь  м². Диван за­ни­ма­ет 1,6 м². Крес­ло за­ни­ма­ет уча­сток пло­ща­дью  м². Зна­чит, пло­щадь той части го­сти­ной, на ко­то­рой будет смон­ти­ро­ван элек­три­че­ский по­до­грев пола, равна

Ответ: 14,56.

Ре­ше­ние. Най­дем рас­сто­я­ние между двумя бли­жай­ши­ми точ­ка­ми по пря­мой ди­ва­на и пись­мен­но­го стола по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Раз­ни­ца в сто­и­мо­сти тор­ше­ров равна руб. Сто­и­мость элек­тро­энер­гии за сутки ра­бо­ты пер­во­го тор­ше­ра равна руб. Сто­и­мость элек­тро­энер­гии за сутки ра­бо­ты вто­ро­го тор­ше­ра равна руб. Зна­чит, при уста­нов­ке пер­во­го тор­ше­ра вла­де­лец квар­ти­ры за сутки эко­но­мит руб. Сле­до­ва­тель­но, в год вла­де­лец квар­ти­ры эко­но­мит руб. Таким об­ра­зом, эко­но­мия от мень­ше­го рас­хо­да элек­тро­энер­гии оку­пит раз­ни­цу в цене этих тор­ше­ров через года.

Ответ: 4.

При­ме­ча­ние.

О еди­ни­цах по­треб­ле­ния элек­тро­энер­гии на­пи­са­но в при­ме­ча­нии к за­да­че 366646.

Ре­ше­ние. При­ве­дем в скоб­ках к об­ще­му зна­ме­на­те­лю и по­де­лим:

Ответ: 31,6.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что можно было вы­пол­нять со­кра­ще­ние дроби не на 12, а на 24. В этом слу­чае по­лу­чи­лось бы и при­ш­лось бы де­лить 158 на 5. Ре­ко­мен­ду­ет­ся вы­пол­нять со­кра­ще­ние дро­бей так, чтобы в зна­ме­на­те­ле по­лу­чи­лась сте­пень де­сят­ки, то есть число 10, 100 или 1000. В этом слу­чае по­лу­чив­шу­ю­ся про­стую дробь будет легко пе­ре­ве­сти в де­ся­тич­ную.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что по усло­вию a по­ло­жи­тель­но и на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле от 0 до 1. По­это­му числа a², a³ и тоже будут по­ло­жи­тель­ны­ми, тогда как число –a будет от­ри­ца­тель­ным. Таким об­ра­зом, –a яв­ля­ет­ся наи­мень­шим из пред­ло­жен­ных в ка­че­стве ва­ри­ан­тов от­ве­та чисел.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

При­ме­ча­ние.

При­ве­дем ре­ше­ние дан­ной за­да­чи с по­мо­щью чис­ло­во­го мо­де­ли­ро­ва­ния. По усло­вию a по­ло­жи­тель­но и на­хо­дит­ся в ин­тер­ва­ле от 0 до 1, пусть a  =  0,5. Тогда a²  =  0,25, a³  =  0,125, –a  =  − 0,5. Наи­мень­шим из этих чисел яв­ля­ет­ся –a  =  − 0,5. Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

За­ме­тим, что в усло­вии ука­за­но, что по­ло­жи­тель­ным яв­ля­ет­ся число a, тогда число –a будет от­ри­ца­тель­ным.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя фор­му­лы и по­лу­ча­ем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ре­ше­ние. Раз­де­лим обе части пер­во­го урав­не­ния на 2 и решим си­сте­му ме­то­дом под­ста­нов­ки:

Ис­ко­мая сумма равна 3,5.

Ответ: 3,5.

При­ме­ча­ние.

Си­сте­му можно было бы ре­шить ме­то­дом ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния:

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность по­лу­чить ве­ще­вой вы­иг­рыш равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства ве­ще­вых вы­иг­ры­шей к об­ще­му ко­ли­че­ству би­ле­тов

Ответ: 0,013.

Ре­ше­ние. Опре­де­лим вид гра­фи­ка для каж­дой из функ­ций.

А)    — ли­ней­ная функ­ция.

Б)    — па­ра­бо­ла.

В)    — ги­пер­бо­ла.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое со­от­вет­ствие: A  — 3, Б  — 1, В  — 4.

Ответ: 314.

Ре­ше­ние. Для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти такое наи­боль­шее n, что Рас­смот­рим ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Cумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

Най­дем наи­боль­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства Для этого най­дем корни урав­не­ния

Таким об­ра­зом, при сумма 32 сла­га­е­мых равна 528. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, для ко­то­ро­го сумма будет мень­ше 528, равно 31.

Ответ: 31.

При­ме­ча­ние.

Можно за­ме­тить, что от­ку­да сразу же по­лу­ча­ем: или

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

По усло­вию, тогда

Ответ: 8

Ре­ше­ние. Вы­ра­зим из дан­ной фор­му­лы R и под­ста­вим зна­че­ния ω и a:

Ответ: 4.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что в фор­му­ле сте­пень «–1» от­но­сит­ся к раз­мер­но­сти, а не к числу.

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ство:   Кор­ня­ми урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа 1 и 3. По­это­му

Мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства изоб­ра­же­но на рис. 1.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ре­ше­ние. Так как KN  — сред­няя линия тра­пе­ции, то KL и LN сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ABC и СAD со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов:

(здесь a и b  — бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, c  — ос­но­ва­ние.

Диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти най­дем по обоб­щен­ной тео­ре­ме си­ну­сов:

Ответ: 8.

При­ме­ча­ние.

Вме­сто того, чтобы ис­кать ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка, можно было найти угол при ос­но­ва­нии. Дей­стви­тель­но, сумма углов при ос­но­ва­нии дан­но­го рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 60°. Эти углы равны, по­это­му каж­дый из них равен 30°. При­ме­няя обоб­щен­ную тео­ре­му си­ну­сов для бо­ко­вой сто­ро­ны и про­ти­во­ле­жа­ще­го ей угла, по­лу­ча­ем:

При­ве­дем ре­ше­ние Ан­дрея Ла­ри­о­но­ва.

Угол при ос­но­ва­нии равен

Сле­до­ва­тель­но, дуга опи­сан­ной окруж­но­сти, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, равна 2 · 30°  =  60°. Эту дугу стя­ги­ва­ет бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка.

Хорда, стя­ги­ва­ю­щая дугу в 60°, равна ра­ди­у­су окруж­но­сти, по­это­му ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен бо­ко­вой сто­ро­не тре­уголь­ни­ка, тогда D  =  2 · 4  =  8.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Най­дем синус угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке тан­генс опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Имеем:

Таким об­ра­зом, где x  — число.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за этого пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке синус опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе. Имеем:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Най­дем каж­дую из сто­рон тре­уголь­ни­ка AOB, чтобы по­ка­зать, что он пря­мо­уголь­ный.

Ответ: 0,5.

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма равны»  — не­вер­но, если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм  — пря­мо­уголь­ник, т. е. не у каж­до­го па­рал­ле­ло­грам­ма диа­го­на­ли равны.

2)  «Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию его сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этой сто­ро­не»  — верно, ромб  — част­ный слу­чай па­рал­ле­ло­грам­ма, а пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна a · h.

3)  «Если две сто­ро­ны и угол од­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам и углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны»  — не­вер­но, нет та­ко­го при­зна­ка ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков. При­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков зву­чит так: «Если две сто­ро­ны и угол между ними од­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам и углу между ними дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны».

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что при сушке фрук­тов вода ис­па­ря­ет­ся, по­это­му не­об­хо­ди­мо рас­смат­ри­вать не ко­ли­че­ство воды, а ко­ли­че­ство пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, ко­то­рое оста­ет­ся не­из­мен­ным.

Све­жие фрук­ты со­дер­жат 100% − 80%  =  20% пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, а вы­су­шен­ные  — 100% − 28%  =  72%. В 288 кг све­жих фрук­тов со­дер­жит­ся 0,2 · 288  =  57,6 кг пи­та­тель­но­го ве­ще­ства. Такое ко­ли­че­ство пи­та­тель­но­го ве­ще­ства будет со­дер­жать­ся в кг вы­су­шен­ных фрук­тов.

Ответ: 80 кг.

Ре­ше­ние. Рас­кро­ем мо­дуль:

Этот гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку при и

Ответ: −1; 1.

Ре­ше­ние. Пусть

По свой­ству ка­са­тель­ных AM = AP, BM = BK , CP = CK . Зна­чит, тре­уголь­ни­ки AMP, BMK и CPK рав­но­бед­рен­ные, от­ку­да по­лу­ча­ем:

Зна­чит, Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что и

Решая си­сте­му от­но­си­тель­но α , β и γ , по­лу­ча­ем, что углы тре­уголь­ни­ка ABC равны 82°, 42°, 56°.

При­ве­дем ре­ше­ние Марии Ва­си­льев­ны.

Угол AMP  — угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, сле­до­ва­тель­но, его ве­ли­чи­на равна по­ло­ви­не гра­дус­ной меры дуги, стя­ги­ва­е­мой хор­дой, то есть дуги MP.

Угол MKP  — впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но, его ве­ли­чи­на равна по­ло­ви­не гра­дус­ной меры дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, то есть дуги MP.

Тогда

По свой­ству ка­са­тель­ных AM = AP, тогда в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке MAP

Ана­ло­гич­но най­дем

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть O  — центр окруж­но­сти.

Угол MKP  — впи­сан­ный, угол MOP  — цен­траль­ный, тогда

В че­ты­рех­уголь­ни­ке AMOP как углы между ка­са­тель­ной и ра­ди­у­сом, про­ве­ден­ным в точку ка­са­ния. Тогда

Ана­ло­гич­но

Ответ: 82°, 42°, 56°.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку угол ACB тупой, ос­но­ва­ния высот A₁ и B₁ будут ле­жать на про­дол­же­ни­ях сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка AA₁B₁B пе­ре­се­ка­ют­ся, по­это­му он вы­пук­лый. По­сколь­ку ∠AA₁B = ∠AB₁B = 90°, каж­дый из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков AA₁B и AB₁B впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром AB. Это озна­ча­ет, что все вер­ши­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка AA₁B₁B лежат на одной окруж­но­сти. Тогда углы ∠AB₁A₁ и ∠ABA₁ равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу A₁A. Ана­ло­гич­но, ∠BA₁B₁ = ∠BAB₁. Зна­чит, ука­зан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

Ука­жем общую тео­ре­му.

Ос­но­ва­ния двух высот тре­уголь­ни­ка (ост­ро­уголь­но­го или ту­по­уголь­но­го) и одна из его вер­шин об­ра­зу­ют тре­уголь­ник, по­доб­ный ис­ход­но­му; ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен мо­ду­лю ко­си­ну­са их об­ще­го угла.

См. также.

Ана­ло­гич­ное за­да­ние с ост­ро­уголь­ным тре­уголь­ни­ком: 340341.

При­ве­дем ре­ше­ние Ро­ма­на Ре­ше­ти­ло­ва.

Тре­уголь­ни­ки ACA₁ и BCB₁ по­доб­ны по двум углам, по­сколь­ку ∠AA₁C = ∠BB₁C  =  90°, ∠ACA₁ = ∠BCB₁ равны как вер­ти­каль­ные. Сле­до­ва­тель­но,

Углы ACB и A₁CB₁ равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки A₁CB₁ и ACB по­доб­ны по от­но­ше­нию двух сто­рон, за­клю­ча­ю­щих рав­ные углы.

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем по­стро­е­ния и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Центр впи­сан­ной окруж­но­сти  — это точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис, по­это­му AO, BO, CO  — бис­сек­три­сы. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем AK:

От­рез­ки OM, OL и OK равны как ра­ди­у­сы впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти, то есть Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ALO и AOK, они пря­мо­уголь­ные, углы LAO и OAK равны, AO  — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Ана­ло­гич­но из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков COM и COK по­лу­ча­ем а из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков BOL и BOM  — Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC можно найти как про­из­ве­де­ние ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти на по­лу­пе­ри­метр:

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию вы­со­ты на ос­но­ва­ние:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABC и ACD, AB равно CD, AD равно BC, углы ABC и ADC равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ABC и ACD равны. По­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма:

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Сде­ла­ем по­стро­е­ния и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть O— центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, точки K, L, M  — точки ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми AC, AB и BC со­от­вет­ствен­но.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем AK:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOH най­дем AH:

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOK и AOH равны по трем сто­ро­нам, тогда ∠OAK = ∠AOH.

Центр впи­сан­ной окруж­но­сти лежит на пе­ре­се­че­нии бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, AO  — бис­сек­три­са, тогда ∠BAO = ∠OAK = ∠AOH. Углы BAO и AOH  — на­крес­тле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии пря­мых AB и OH се­ку­щей AO, сле­до­ва­тель­но, пря­мые AB и OH па­рал­лель­ны, зна­чит, ABCD  — пря­мо­уголь­ник.

Пусть r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, r  =  OK  =  3.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC AL  =  AK  =  4, LB  =  BM  =  r  =  3, MC  =  CK по свой­ству ка­са­тель­ных. Пусть MC  =  CK  =  x. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка ABC: AB  =  4 + 3  =  7, BC  =  3 + 21  =  24, тогда его пло­щадь