Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 25 № 339366

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 10 и MB = 18. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Спрятать решение

Решение.

Угол ACD, образованный касательной к окружности и хордой, проведённой через точку касания, равен половине заключённой между ними дуги AC. Угол ABC — вписанный, поэтому он также равен половине дуги AC, на которую он опирается. Поэтому углы ABC и ACD равны.

В треугольниках ACD и CBD угол BDC общий, углы ABC и ACD равны. Cледовательно, эти треугольники подобны, откуда  дробь, числитель — CD, знаменатель — BD = дробь, числитель — AC, знаменатель — BC = дробь, числитель — AD, знаменатель — CD .

Биссектриса угла делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:  дробь, числитель — AC, знаменатель — BC = дробь, числитель — AM, знаменатель — BM = дробь, числитель — 10, знаменатель — 18 . Получаем:

AD= дробь, числитель — 10, знаменатель — 18 CD,BD= дробь, числитель — 18, знаменатель — 10 CD,BD=AD плюс AB=AD плюс 10 плюс 18=AD плюс 28.

Найдём CD:

 дробь, числитель — 18, знаменатель — 10 CD= дробь, числитель — 10, знаменатель — 18 CD плюс 28 равносильно CD левая круглая скобка дробь, числитель — 18, знаменатель — 10 минус дробь, числитель — 10, знаменатель — 18 правая круглая скобка =28 равносильно CD дробь, числитель — 18 умножить на 18 минус 10 умножить на 10, знаменатель — 10 умножить на 18 =28 равносильно

 равносильно CD= дробь, числитель — 28 умножить на 10 умножить на 18, знаменатель — (18 минус 10)(18 плюс 10) равносильно CD=22,5.

Ответ: 22,5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ2
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям0
Максимальный балл2