РЕШУ ОГЭ — математика

Задания

Тип 25 № 339366 Добавить в вариант

Раздел кодификатора ФИПИ:

7.4 Окружность и круг;

Подобие;

Свойства биссектрис;

Свойства касательных, секущих.

Геометрические задачи повышенной сложности. Комбинация многоугольников и окружностей

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM  =  10 и MB  =  18. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Решение. Угол ACD, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги AC. Угол ABC  — вписанный, поэтому он также равен половине дуги AC, на которую он опирается. Поэтому углы ABC и ACD равны.

В треугольниках ACD и CBD угол BDC общий, углы ABC и ACD равны. Cледовательно, эти треугольники подобны, откуда $дробь: числитель: CD, знаменатель: BD конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: AD, знаменатель: CD конец дроби .$

Биссектриса угла делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $дробь: числитель: AC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: AM, знаменатель: BM конец дроби = дробь: числитель: 10, знаменатель: 18 конец дроби .$ Получаем:

$AD= дробь: числитель: 10, знаменатель: 18 конец дроби CD,BD= дробь: числитель: 18, знаменатель: 10 конец дроби CD,BD=AD плюс AB=AD плюс 10 плюс 18=AD плюс 28.$ $AD= дробь: числитель: 10, знаменатель: 18 конец дроби CD,BD= дробь: числитель: 18, знаменатель: 10 конец дроби CD,BD=$
$=AD плюс AB=AD плюс 10 плюс 18=AD плюс 28.$

Найдем $CD:$

$дробь: числитель: 18, знаменатель: 10 конец дроби CD= дробь: числитель: 10, знаменатель: 18 конец дроби CD плюс 28 равносильно CD левая круглая скобка дробь: числитель: 18, знаменатель: 10 конец дроби минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка =28 равносильно$
$равносильно CD дробь: числитель: 18 умножить на 18 минус 10 умножить на 10, знаменатель: 10 умножить на 18 конец дроби =28 равносильно CD= дробь: числитель: 28 умножить на 10 умножить на 18, знаменатель: левая круглая скобка 18 минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка 18 плюс 10 правая круглая скобка конец дроби равносильно CD=22,5.$ $дробь: числитель: 18, знаменатель: 10 конец дроби CD= дробь: числитель: 10, знаменатель: 18 конец дроби CD плюс 28 равносильно CD левая круглая скобка дробь: числитель: 18, знаменатель: 10 конец дроби минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка =28 равносильно$
$равносильно CD дробь: числитель: 18 умножить на 18 минус 10 умножить на 10, знаменатель: 10 умножить на 18 конец дроби =28 равносильно$
$равносильно CD= дробь: числитель: 28 умножить на 10 умножить на 18, знаменатель: левая круглая скобка 18 минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка 18 плюс 10 правая круглая скобка конец дроби равносильно CD=22,5.$

Ответ: 22,5.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

Ответ: 22,5.

339366

22,5.

Раздел кодификатора ФИПИ:

7.4 Окружность и круг;

Подобие;

Свойства биссектрис;

Свойства касательных, секущих.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	339366	22,5.