Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними. Так как угол рав­но­сто­рон­не­го треугольника равен 60° и все сто­ро­ны равны 10, имеем:

Ответ: 25.

Так как в рав­но­сто­рон­нем треугольнике все сто­ро­ны равны, то сто­ро­на данного тре­уголь­ни­ка равна 10. Угол рав­но­сто­рон­не­го треугольника равен 60°. Пло­щадь треугольника равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 25.

Высота рав­но­сто­рон­не­го треугольника равна Таким образом, сто­ро­на равностороннего тре­уголь­ни­ка равна Пло­щадь треугольника равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 100.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними, имеем:

Ответ: 25.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Так как бо­ко­вая сторона рав­но­бед­рен­но­го треугольника равна 5, его ос­но­ва­ние равно 6, а полупериметр: по фор­му­ле Герона имеем:

Ответ: 12.

Приведём другое решение.

Найдя основание и боковые стороны равнобедренного треугольника, находим по теореме Пифагора высоту, она равна 4. Далее по формуле площади треугольника, находим, что она равна 12.

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не произведения сто­рон на синус угла между ними:

Ответ: 25.

Примечание:

Площадь тре­уголь­ни­ка можно было найти по фор­му­ле Герона.

Пусть — длина ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го треугольника, — длина бо­ко­вой сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го треугольника, — высота, проведенная к основанию . Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, проедённая к основанию, также яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой и медианой. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найдём вы­со­ту по тео­ре­ме Пифагора:

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на высоту:

Ответ: 480.

Периметр тре­уголь­ни­ка равен сумме длин его сторон, по­это­му длина ос­но­ва­ния равна 216 − 78 − 78 = 60. Вы­со­та проведённая к ос­но­ва­нию равнобедренного треугольника, также яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой и медианой, по­это­му (см. рис.) имеем:

Площадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на высоту:

Ответ: 2160.

Примечание.

Пусть — по­лу­пе­ри­метр треугольника, — сто­ро­ны треугольника. Можно не на­хо­дить высоту, а найти пло­щадь по фор­му­ле Герона: