Пусть тогда числитель принимает вид По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней уравнения равна 13, а их произведение — 36. Тем самым, это числа 4 и 9. Тогда по формуле получаем: Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

Сократим дробь: при и функция принимает вид:

её график — парабола c выколотыми точками и

Выделим полный квадрат:

Следовательно, искомая парабола получается сдвигом графика функции y = x² на — см. рис.

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты ординаты выколотых точек суть и Поэтому , или

Ответ: , или

Выделим полный квадрат:

Следовательно, искомая парабола получается сдвигом графика функции на — см. рис.

Запишем условие общей точки:

Прямая будет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю:  откуда  Подставив значение параметра в уравнение, находим

Ответ: p = −4, координата точки: (−2; 0).

Для того, чтобы прямая и парабола имели одну общую точку необходимо, чтобы дискриминант равнялся нулю. Дискриминант равен: Он обращается в ноль при или По условию необходимо отрицательное , таким образом, Построим графики функций:

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график данной функции получается из графика функции сдвигом на − см. рис.

График функции — прямая — строится по точкам.

Найдем точку пересечения параболы с прямой:

таким образом

Ответ: При k = −2; Парабола пересекает прямую в точке

Уравнения параболы, вершина которой находится в начале координат:  . Парабола проходит через точку B, подставим координаты точки в уравнение параболы: , получаем: . Уравнение параболы: . Абсциссы точек пересечения с прямой    найдем, подставив в уравнение параболы: 

Ответ:

Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: Координата вершины параболы находится по формуле Координата вершины параболы найдётся подстановкой в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов и Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы, получим систему из трёх уравнений:

Найдём координаты вершины:

Ответ: (−1; −6).