Разложим чис­ли­тель дроби на множители:

При и функ­ция при­ни­ма­ет вид:

её гра­фик — па­ра­бо­ла c вы­ко­ло­ты­ми точ­ка­ми и .

Прямая имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку либо тогда, когда про­хо­дит через вер­ши­ну параболы, либо тогда, когда пе­ре­се­ка­ет па­ра­бо­лу в двух точках, одна из ко­то­рых — выколотая. Вер­ши­на па­ра­бо­лы имеет ко­ор­ди­на­ты .

Поэтому , или .

График функ­ции изображён на рисунке.

Запишем усло­вие общей точки:

Прямая будет иметь с па­ра­бо­лой един­ствен­ную общую точку при условии, что дис­кри­ми­нант по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния равен нулю:  откуда  Под­ста­вив зна­че­ние па­ра­мет­ра в уравнение, на­хо­дим

Ответ: p = −4, ко­ор­ди­на­та точки: (−2;0).

Для того, чтобы пря­мая и па­ра­бо­ла имели одну общую точку необходимо, чтобы дис­кри­ми­нант рав­нял­ся нулю. Дис­кри­ми­нант равен: Он об­ра­ща­ет­ся в ноль при или По усло­вию не­об­хо­ди­мо от­ри­ца­тель­ное , таким образом, По­стро­им гра­фи­ки функций:

Найдем точку пе­ре­се­че­ния па­ра­бо­лы с прямой:

таким об­ра­зом

Ответ: При k = −2; Па­ра­бо­ла пе­ре­се­ка­ет пря­мую в точке

Уравнения параболы, вер­ши­на ко­то­рой на­хо­дит­ся в на­ча­ле координат:  . Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точку  , по­это­му  , от­ку­да  . Урав­не­ние параболы:  . Абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния с пря­мой    най­дем из урав­не­ния  .

Ответ:  .

Одна из воз­мож­ных форм за­пи­си урав­не­ния па­ра­бо­лы в общем виде вы­гля­дит так: Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле Ко­ор­ди­на­ту вер­ши­ны па­ра­бо­лы найдётся под­ста­нов­кой в урав­не­ние параболы. Таким образом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов и Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точек, через ко­то­рые про­хо­дит парабола, в урав­не­ние па­ра­бо­лы и по­лу­чим си­сте­му из трёх уравнений:

Найдём ко­ор­ди­на­ты вершины:

Ответ: (−1; −6).

Координата вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой в урав­не­ние параболы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по раз­ные сто­ро­ны от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют раз­ные знаки. Вспомнив, что два со­мно­жи­те­ля имеют раз­ный знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние отрицательно, со­ста­вим и решим неравенство:

Заметим, что пер­вый мно­жи­тель все­гда боль­ше нуля, по­это­му на него можно разделить.

Произведение двух со­мно­жи­те­лей будет боль­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют оди­на­к­вый знак (см. рисунок). Таким образом, по­лу­ча­ем ответ:

Примечание.

Координату па­ра­бо­лы также можно найти по фор­му­ле

Абсцисса вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле Для данных парабол это точки p и 2p.

Ордината вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой в урав­не­ние параболы. Для данных парабол получаем: и

Вер­ши­ны па­ра­бол на­хо­дят­ся по раз­ные сто­ро­ны от оси абцсисс, если ­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют раз­ные знаки.

Два мно­жи­те­ля имеют раз­ные знаки тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние отрицательно. Тем самым, требуется решить неравенство Заметим, что пер­вый мно­жи­тель мень­ше нуля при всех значениях p, по­это­му на него можно разделить, изменив знак неравенства на противоположный. Имеем:

Произведение двух со­мно­жи­те­лей боль­ше нуля, если они имеют оди­н и тот же знак (см. рис.). Таким образом, по­лу­ча­ем ответ:

Примечание.

Ординату вершины па­ра­бо­лы также можно найти по фор­му­ле

Координата вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой в урав­не­ние параболы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по одну сто­ро­ну от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют оди­на­ко­вые знаки. Вспомнив, что два со­мно­жи­те­ля имеют оди­на­ко­вый знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние положительно, со­ста­вим и решим неравенство:

Заметим, что вто­рой мно­жи­тель все­гда мень­ше нуля, по­это­му на него можно разделить.

Произведение двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. рисунок). Таким образом, по­лу­ча­ем ответ:

Примечание.

Координату па­ра­бо­лы также можно найти по фор­му­ле

Координата вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой в урав­не­ние параболы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по одну сто­ро­ну от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют оди­на­ко­вые знаки. Вспомнив, что два со­мно­жи­те­ля имеют оди­на­ко­вый знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние положительно, со­ста­вим и решим неравенство:

Заметим, что вто­рой мно­жи­тель все­гда боль­ше нуля, по­это­му на него можно разделить.

Произведение двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. рисунок). Таким образом, по­лу­ча­ем ответ:

Примечание.

Координату па­ра­бо­лы также можно найти по фор­му­ле

Найдём абс­цис­сы точек пересечения:

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это урав­не­ние имеет ровно одно решение. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

Подставив па­ра­метр в урав­не­ние, найдём ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функций:

Координата на­хо­дит­ся от­ту­да же путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты в любое из уравнений, например, во второе:

Теперь, зная можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. рисунок).

Найдём абс­цис­сы точек пересечения:

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это урав­не­ние имеет ровно одно решение. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

Подставив па­ра­метр в урав­не­ние, найдём ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функций:

Координата на­хо­дит­ся путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты в любое из уравнений, например, в первое:

Теперь, зная можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. рисунок).

Найдём абс­цис­сы точек пересечения:

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это урав­не­ние имеет ровно одно решение. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

По усло­вию по­это­му нам под­хо­дит зна­че­ние

Подставив па­ра­метр в урав­не­ние, найдём ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функций:

Координата на­хо­дит­ся путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты в любое из уравнений, например, в первое:

Теперь, зная можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. рисунок).

Упростим выражение:

Таким образом, получили, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции с вы­ко­ло­тыми точ­ками и По­стро­им гра­фик функ­ции (см. рисунок).

Этот гра­фик изображён на рисунке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно две общие точки при при­над­ле­жа­щем про­ме­жут­ку

Ответ:

Упростим выражение:

График функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку па­ра­бо­лы с вы­ко­ло­той точ­кой

Этот гра­фик изображён на рисунке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку при и

Ответ: −1; 3.

Преобразуем выражение:

График ис­ход­ной функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку па­ра­бо­лы с вы­ко­ло­ты­ми точ­ка­ми

Этот гра­фик изображён на рисунке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку при рав­ном

Ответ: −6,25; −6; 6.

Упростим выражение:

График ис­ход­ной функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку па­ра­бо­лы с вы­ко­ло­той точ­кой Этот гра­фик изображён на рисунке:

Чтобы пря­мая имела с по­стро­ен­ным гра­фи­ком одну общую точку, нужно чтобы

или пря­мая была ка­са­тель­ной к гра­фи­ку (и точка ка­са­ния не равна 1),

или пря­мая пе­ре­се­ка­ет гра­фик в точке и в какой-то вто­рой точке.

Случай ка­са­ния ре­а­ли­зу­ет­ся когда дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния равен нулю.

При этом если , точка ка­са­ния , а если , точка ка­са­ния .

Для рас­смот­ре­ния вто­ро­го слу­чая под­ста­вим в урав­не­ние .

получим . При этом дис­кри­ми­нант этого урав­не­ния будет боль­ше нуля, зна­чит еще одно ре­ше­ние точно есть.

Ответ: -3,25; -3; 3.

По­стро­им гра­фик функ­ции y = x² + 4.

Прямая y = kx имеет с этим гра­фи­ком ровно одну общую точку, если урав­не­ние x² + 4 = kx имеет один корень. Дис­кри­ми­нант этого урав­не­ния равен k² − 16 , и он дол­жен быть равен нулю. Получаем, что k = −4 или k = 4.

Ответ: −4; 4.

Преобразуем вы­ра­же­ние при условии, что x ≠ 4. По­стро­им гра­фик функ­ции y = −0,5x² при x < 0 и гра­фик функ­ции y = 0,5x² при 0 ≤ x < 4 и x > 4.

Прямая y = m не имеет с гра­фи­ком ни одной общей точки при m = 8.

Ответ: 8.

Построим гра­фик функ­ции y = −x² − 7x − 10 при x < −2 и гра­фик функции y = −x² + x + 6 при x ≥ −2.

Прямая y = m имеет с гра­фи­ком ровно три общие точки, если она про­хо­дит через вер­ши­ну пер­вой па­ра­бо­лы и пе­ре­се­ка­ет вто­рую, или если она про­хо­дит через точку (−2; 0). Получаем, что m = 0 и m = 2,25.

Ответ: 0; 2,25.

Построим гра­фик функ­ции при x < −5 и гра­фик функ­ции y = x² +8x + 16 при x ≥ −5.

Прямая y = m имеет с гра­фи­ком одну или две общие точки при m = 0 и при m ≥ 1.

Ответ: 0; [1; +∞)

Раскрывая мо­дуль и упрощая, получим, что функ­цию можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим образом:

При этом на гра­фи­ке функ­ции нужно вы­ко­лоть точку по­сколь­ку при упро­ще­нии мы со­кра­ща­ли вы­ра­же­ние сто­я­щее в знаменателе.

Этот гра­фик изображён на рисунке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая не имеет с гра­фи­ком функ­ции ни одной общей точки при

Ответ: 0,75.

Упростим выражение:

График ис­ход­ной функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку па­ра­бо­лы с вы­ко­ло­той точ­кой Этот гра­фик изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая имеет с графиком одну общую точку, если или

Ответ: -0,25; 2