Пусть тогда числитель принимает вид По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней уравнения равна 13, а их произведение — 36. Тем самым, это числа 4 и 9. Тогда по формуле получаем: Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

Сократим дробь: при и функция принимает вид:

её график — парабола c выколотыми точками и

Выделим полный квадрат:

Следовательно, искомая парабола получается сдвигом графика функции y = x² на — см. рис.

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты ординаты выколотых точек суть и Поэтому , или

Ответ: , или

Выделим полный квадрат:

Следовательно, искомая парабола получается сдвигом графика функции на — см. рис.

Запишем условие общей точки:

Прямая будет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю:  откуда  Подставив значение параметра в уравнение, находим

Ответ: p = −4, координата точки: (−2; 0).

Уравнения параболы, вершина которой находится в начале координат:  . Парабола проходит через точку B, подставим координаты точки в уравнение параболы: , получаем: . Уравнение параболы: . Абсциссы точек пересечения с прямой    найдем, подставив в уравнение параболы: 

Ответ:

Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: Координата вершины параболы находится по формуле Координата вершины параболы найдётся подстановкой в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов и Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы, получим систему из трёх уравнений:

Найдём координаты вершины:

Ответ: (−1; −6).

Координата вершины параболы определяется по формуле Координата вершины находится подстановкой в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по разные стороны от оси , если координаты их вершин имеют разные знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют разный знак тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно, составим и решим неравенство:

Заметим, что первый множитель всегда больше нуля, поэтому на него можно разделить.

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если сомножители имеют одинаковый знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

Примечание.

Координату параболы также можно найти по формуле