Пусть тогда числитель принимает вид По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней уравнения равна 13, а их произведение — 36. Тем самым, это числа 4 и 9. Тогда по формуле получаем: Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

Сократим дробь: при и функция принимает вид:

её график — парабола c выколотыми точками и

Выделим полный квадрат:

Следовательно, искомая парабола получается сдвигом графика функции y = x² на — см. рис.

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты ординаты выколотых точек суть и Поэтому , или

Ответ: , или

Выделим полный квадрат:

Следовательно, искомая парабола получается сдвигом графика функции на — см. рис.

Запишем условие общей точки:

Прямая будет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю:  откуда  Подставив значение параметра в уравнение, находим

Ответ: p = −4, координата точки: (−2; 0).

Для того, чтобы прямая и парабола имели одну общую точку необходимо, чтобы дискриминант равнялся нулю. Дискриминант равен: Он обращается в ноль при или По условию необходимо отрицательное , таким образом, Построим графики функций:

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график данной функции получается из графика функции сдвигом на − см. рис.

График функции — прямая — строится по точкам.

Найдем точку пересечения параболы с прямой:

таким образом

Ответ: При k = −2; Парабола пересекает прямую в точке

Уравнения параболы, вершина которой находится в начале координат:  . Парабола проходит через точку B, подставим координаты точки в уравнение параболы: , получаем: . Уравнение параболы: . Абсциссы точек пересечения с прямой    найдем, подставив в уравнение параболы: 

Ответ:

Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: Координата вершины параболы находится по формуле Координата вершины параболы найдётся подстановкой в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов и Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы, получим систему из трёх уравнений:

Найдём координаты вершины:

Ответ: (−1; −6).

Координата вершины параболы определяется по формуле Координата вершины находится подстановкой в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по разные стороны от оси , если координаты их вершин имеют разные знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют разный знак тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно, составим и решим неравенство:

Заметим, что первый множитель всегда больше нуля, поэтому на него можно разделить.

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если сомножители имеют одинаквый знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

Примечание.

Координату параболы также можно найти по формуле

Абсцисса вершины параболы определяется по формуле Для данных парабол это точки p и 2p.

Ордината вершины находится подстановкой в уравнение параболы. Для данных парабол получаем: и

Вершины парабол находятся по разные стороны от оси абцсисс, если ординаты их вершин имеют разные знаки.

Два множителя имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно. Тем самым, требуется решить неравенство Заметим, что первый множитель меньше нуля при всех значениях p, поэтому на него можно разделить, изменив знак неравенства на противоположный. Имеем:

Произведение двух сомножителей больше нуля, если они имеют один и тот же знак (см. рис.). Таким образом, получаем ответ:

Примечание.

Ординату вершины параболы также можно найти по формуле

Координата вершины параболы определяется по формуле Координата вершины находится подстановкой в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по одну сторону от оси , если координаты их вершин имеют одинаковые знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют одинаковый знак тогда и только тогда, когда их произведение положительно, составим и решим неравенство:

Заметим, что второй множитель всегда меньше нуля, поэтому на него можно разделить.

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

Примечание.

Координату параболы также можно найти по формуле

Координата вершины параболы определяется по формуле Координата вершины находится подстановкой в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по одну сторону от оси , если координаты их вершин имеют одинаковые знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют одинаковый знак тогда и только тогда, когда их произведение положительно, составим и решим неравенство:

Заметим, что второй множитель всегда больше нуля, поэтому на него можно разделить.

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

Примечание.

Координату параболы также можно найти по формуле

Найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния:

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

Под­ста­вив па­ра­метр в урав­не­ние, найдём ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

Ко­ор­ди­на­та на­хо­дит­ся от­ту­да же путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты в любое из урав­не­ний, на­при­мер, во вто­рое:

Те­перь, зная можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок):

Гра­фик функ­ции — па­ра­бо­ла — по­лу­ча­ет­ся из гра­фи­ка функ­ции сдви­гом на .

Гра­фик функ­ции — пря­мая — стро­ит­ся по точ­кам.

Найдём абсциссы точек пересечения:

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это уравнение имеет ровно одно решение. То есть, если дискриминант этого квадратного уравнения будет равен нулю.

Подставив параметр в уравнение, найдём координату точки пересечения этих функций:

Координата находится путём подстановки координаты в любое из уравнений, например, в первое:

Теперь, зная можем построить графики обеих функций.

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график данной функции получается из графика функции сдвигом на .

График функции — прямая — строится по точкам. (см. рисунок)

Найдём абсциссы точек пересечения:

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это уравнение имеет ровно одно решение. То есть, если дискриминант этого квадратного уравнения будет равен нулю.

По условию поэтому нам подходит значение

Подставив параметр в уравнение, найдём координату точки пересечения этих функций:

Координата находится путём подстановки координаты в любое из уравнений, например, в первое:

Теперь, зная можем построить графики обеих функций.

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график функции получается из графика функции сдвигом на .

График функции — прямая — строится по точкам. (см. рис.)

Упростим выражение:

Таким образом, получили, что график нашей функции сводится к графику функции с выколотыми точками и Построим график функции (см. рисунок):

График функции — парабола — получается из графика функции сдвигом на и отражением через ось Ox.

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно две общие точки при принадлежащем промежутку

Ответ:

Упростим выражение:

По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнения равны -1 и -2 соответственно, тогда по формуле , получаем:. Имеем:

График функции сводится к графику параболы с выколотой точкой

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график функции получается из графика функции сдвигом на . (см. рис.)

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку при и

Ответ: −1; 3.

Преобразуем выражение:

По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнений равны соответственно: -3 и -4; -1 и 2; -1 и -4. Тогда по формуле получаем:

Имеем:

График исходной функции сводится к графику параболы с выколотыми точками

Построим график функции:

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график функции получается из графика функции сдвигом на .

Из графика видно, что прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку при равном

Ответ: −6,25; −6; 6.

Упростим выражение:

График исходной функции сводится к графику параболы с выколотой точкой

Построим график функции:

График функции получается из графика функции отражением относительно оси и последующим сдвигом на . (см. рис.)

Чтобы прямая имела с построенным графиком одну общую точку, нужно чтобы

или прямая была касательной к графику (и точка касания не равна 1),

или прямая пересекает график в точке и в какой-то второй точке.

Случай касания реализуется, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю.

При этом если , точка касания , а если , точка касания .

Для рассмотрения второго случая подставим в уравнение .

получим . При этом дискриминант этого уравнения будет больше нуля, значит, еще одно решение точно есть.

Ответ: -3,25; -3; 3.

Построим график функции:

График функции получается из графика функции сдвигом на .

Прямая y = kx имеет с этим графиком ровно одну общую точку, если уравнение x² + 4 = kx имеет один корень. Дискриминант этого уравнения равен k² − 16 , и он должен быть равен нулю. Получаем, что k = −4 или k = 4.

Графики прямых и строятся по точкам.

Ответ: −4; 4.

Преобразуем выражение:

Построим график функции y = −0,5x² при x < 0 и график функции y = 0,5x² при 0 ≤ x < 4 и x > 4.

Прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки при m = 8.

Ответ: 8.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

При этом на гра­фи­ке функ­ции нужно вы­ко­лоть точку по­сколь­ку при упро­ще­нии мы со­кра­ща­ли вы­ра­же­ние сто­я­щее в зна­ме­на­те­ле.

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая не имеет с гра­фи­ком функ­ции ни одной общей точки при

Ответ: 0,75.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, корни урав­не­ния равны со­от­вет­ствен­но 2 и 3, тогда по фор­му­ле по­лу­ча­ем. Имеем:

Гра­фик ис­ход­ной функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку па­ра­бо­лы с вы­ко­ло­той точ­кой

Вы­де­лим пол­ный квад­рат:

Сле­до­ва­тель­но, этот гра­фик по­лу­ча­ет­ся из гра­фи­ка функ­ции сдви­гом на . (см. рис.)

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком одну общую точку, если или

Ответ: -0,25; 2