Пусть тогда чис­ли­тель при­ни­ма­ет вид По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней урав­не­ния равна 13, а их про­из­ве­де­ние  — 36. Тем самым, это числа 4 и 9. Тогда по фор­му­ле по­лу­ча­ем: Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, имеем:

Со­кра­тим дробь: при и функ­ция при­ни­ма­ет вид:

ее гра­фик  — па­ра­бо­ла c вы­ко­ло­ты­ми точ­ка­ми и

Вы­де­лим пол­ный квад­рат:

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая па­ра­бо­ла по­лу­ча­ет­ся сдви­гом гра­фи­ка функ­ции y  =  x² на   — см. рис.

Пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку либо тогда, когда про­хо­дит через вер­ши­ну па­ра­бо­лы, либо тогда, когда пе­ре­се­ка­ет па­ра­бо­лу в двух точ­ках, одна из ко­то­рых  — вы­ко­ло­тая. Вер­ши­на па­ра­бо­лы имеет ко­ор­ди­на­ты ор­ди­на­ты вы­ко­ло­тых точек суть и По­это­му или

Ответ: или

Вы­де­лим пол­ный квад­рат:

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мая па­ра­бо­ла по­лу­ча­ет­ся сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на   — см. рис.

За­пи­шем усло­вие на­ли­чия общей точки: Пря­мая будет иметь с па­ра­бо­лой един­ствен­ную общую точку при усло­вии, что дис­кри­ми­нант по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния равен нулю:  от­ку­да  Под­ста­вив зна­че­ние па­ра­мет­ра в урав­не­ние, на­хо­дим

Пря­мая изоб­ра­же­на на ри­сун­ке.

Ответ: p = −4, ко­ор­ди­на­та точки: (−2; 0).

Урав­не­ния па­ра­бо­лы, вер­ши­на ко­то­рой на­хо­дит­ся в на­ча­ле ко­ор­ди­нат:  Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точку B, под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точки в урав­не­ние па­ра­бо­лы: по­лу­ча­ем:  Урав­не­ние па­ра­бо­лы:  Абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния с пря­мой   най­дем, под­ста­вив в урав­не­ние па­ра­бо­лы: 

Ответ:

Одна из воз­мож­ных форм за­пи­си урав­не­ния па­ра­бо­лы в общем виде вы­гля­дит так: Ко­ор­ди­на­та x вер­ши­ны па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле Ко­ор­ди­на­та y вер­ши­ны па­ра­бо­лы най­дет­ся под­ста­нов­кой в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов и Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точек, через ко­то­рые про­хо­дит па­ра­бо­ла, в урав­не­ние па­ра­бо­лы, по­лу­чим си­сте­му из трех урав­не­ний:

Най­дем ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны:

Ответ: (−1; −6).

Ко­ор­ди­на­та x вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле Ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой в урав­не­ние па­ра­бо­лы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по раз­ные сто­ро­ны от оси x, если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют раз­ные знаки. Вспом­нив, что два со­мно­жи­те­ля имеют раз­ный знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние от­ри­ца­тель­но, со­ста­вим и решим не­ра­вен­ство:

За­ме­тим, что пер­вый мно­жи­тель все­гда боль­ше нуля, по­это­му на него можно раз­де­лить.

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет боль­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют оди­на­ко­вый знак (см. рис.). Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Ко­ор­ди­на­ту па­ра­бо­лы также можно найти по фор­му­ле