По опре­де­ле­нию па­рал­ле­ло­грам­ма пря­мая BC па­рал­лель­ная пря­мой AD, от­ре­зок AE  — се­ку­щая при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, углы BEA и EAD равны как на­крест ле­жа­щие. По­сколь­ку тре­уголь­ник ABE  — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да Ана­ло­гич­но, тре­уголь­ник CED  — рав­но­бед­рен­ный и Сто­ро­ны AB и CD равны, как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма, сле­до­ва­тель­но:

Ответ: 20.

Пусть О  — центр окруж­но­сти. Ра­ди­ус окруж­но­сти, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной. По­это­му тре­уголь­ник OBA  — пря­мо­уголь­ный. Най­дем OA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Сле­до­ва­тель­но, длина сто­ро­ны AC равна

Ответ: 8.

Че­ты­рех­уголь­ник KPCB впи­сан в окруж­ность, по­это­му сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, сле­до­ва­тель­но, Углы APK и KPC  — смеж­ные, зна­чит, Из при­ве­ден­ных ра­венств, по­лу­ча­ем, что углы KBC и APK равны. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, то есть тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, от­ку­да Ис­поль­зуя ра­вен­ство най­дем KP:

Ответ: 10.

Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a. Тогда дру­гая сто­ро­на равна 28 − a, а пло­щадь a(28 − a). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, ис­ко­мая пло­щадь равна 27,5.

Ответ: 27,5.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a. Тогда дру­гая сто­ро­на равна 28 − a, а пло­щадь a(28 − a). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

За­ме­тим, что если одна сто­ро­на равна то дру­гая сто­ро­на равна тогда пло­щадь равна

За­ме­тим, что такое ре­ше­ние свя­за­но с тру­до­ем­ки­ми вы­чис­ле­ни­я­ми, по­это­му более ра­ци­о­наль­ным яв­ля­ет­ся спо­соб, пред­став­лен­ный в ос­нов­ном ре­ше­нии.

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a, а дру­гая b, тогда пло­щадь равна ab. По­лу­чим си­сте­му урав­не­ний:

При­ве­дем ре­ше­ние Ар­те­ма Гле­бо­ва.

Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a. Тогда дру­гая сто­ро­на равна 28 − a, а пло­щадь a(28 − a). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Кор­ня­ми этого урав­не­ния яв­ля­ют­ся длины смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Виета про­из­ве­де­ние кор­ней равно 27,5. Про­из­ве­де­ние двух смеж­ных сто­рон  — это пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, пло­щадь равна 27,5.

Обо­зна­чим се­ре­ди­ну сто­ро­ны BC за K. Про­длим MK на свою длину за точку K до точки L. Че­ты­рех­уголь­ник BLCM  — па­рал­ле­ло­грамм, по­то­му что и Зна­чит, тогда по­это­му че­ты­рех­уголь­ник ABLC  — впи­сан­ный. Тогда

от­ку­да

Ответ: 6.