Ре­ше­ние. Про­ве­дем от­ре­зок MT, па­рал­лель­ный AP. Тогда MT  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APC и CT = TP, а KP  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BMT и TP  =  BP. Обо­зна­чим пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKP через S. Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка KPС, име­ю­ще­го ту же вы­со­ту и вдвое боль­ше ос­но­ва­ние, равна 2S. Зна­чит, пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKB равна 3S и равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка СMK (тре­уголь­ни­ки имеют одну вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны С, и рав­ные ос­но­ва­ния), ко­то­рая в свою оче­редь равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВК равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АМК. Итак,

Зна­чит,

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем от­ре­зок MT, па­рал­лель­ный AP, вспом­ним, что точка M,  — се­ре­ди­на AC, сле­до­ва­тель­но, MT  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APC, зна­чит, CT  =  TP. Ана­ло­гич­но KP  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BMT, то есть BP  =  PT.

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKP равна S. Рас­смот­рим тре­уголь­ник KPC он имеет общую вы­со­ту с тре­уголь­ни­ком BKP и вдвое боль­шее ос­но­ва­ние, сле­до­ва­тель­но, его пло­щадь равна 2S. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKC равна 3S и такую же пло­щадь имеет тре­уголь­ник CMK, по­сколь­ку они имеют одну вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны C и рав­ные ос­но­ва­ния. Ана­ло­гич­но пло­щадь тре­уголь­ни­ка CMK, равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKM, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKM равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK. Под­ве­дем итог:

От­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка AMK:

Ответ:

Ре­ше­ние. Про­ве­дем от­ре­зок MT, па­рал­лель­ный AP, вспом­ним, что точка M,  — се­ре­ди­на AC, сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок MT  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APC, зна­чит, CT  =  TP. Ана­ло­гич­но от­ре­зок KP  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BMT, то есть BP  =  PT.

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKP равна S. Рас­смот­рим тре­уголь­ник KPC он имеет общую вы­со­ту с тре­уголь­ни­ком BKP и вдвое боль­шее ос­но­ва­ние, сле­до­ва­тель­но, его пло­щадь равна 2S. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKC равна 3S и такую же пло­щадь имеет тре­уголь­ник CMK, по­сколь­ку они имеют одну вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны C и рав­ные ос­но­ва­ния. Ана­ло­гич­но пло­щадь тре­уголь­ни­ка CMK, равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKM, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKM равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK. Под­ве­дем итог:

От­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM:

Ответ: 2,4.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем от­ре­зок MT, па­рал­лель­ный от­рез­ку AP, вспом­ним, что точка M,  — се­ре­ди­на AC, сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок MT  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APC, зна­чит, CT  =  TP. Ана­ло­гич­но от­ре­зок KP  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BMT, то есть BP  =  PT.

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKP равна S. Рас­смот­рим тре­уголь­ник KPC он имеет общую вы­со­ту с тре­уголь­ни­ком BKP и вдвое боль­шее ос­но­ва­ние, сле­до­ва­тель­но, его пло­щадь равна 2S. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKC равна 3S и такую же пло­щадь имеет тре­уголь­ник CMK, по­сколь­ку они имеют одну вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны C и рав­ные ос­но­ва­ния. Ана­ло­гич­но пло­щадь тре­уголь­ни­ка CMK, равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKM. Под­ве­дем итог:

От­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BKP к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKM:

Ответ:

Ре­ше­ние. Про­ве­дем от­ре­зок MT, па­рал­лель­ный AP, вспом­ним, что точка M,  — се­ре­ди­на AC, сле­до­ва­тель­но, MT  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APC, зна­чит, Ана­ло­гич­но KP  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BMT, то есть

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKP равна S. Рас­смот­рим тре­уголь­ник KPC. Он имеет общую вы­со­ту с тре­уголь­ни­ком BKP и вдвое боль­шее ос­но­ва­ние, сле­до­ва­тель­но, его пло­щадь равна 2S. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKC равна 3S. Такую же пло­щадь имеет тре­уголь­ник CMK, по­сколь­ку они имеют одну вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны C, и рав­ные ос­но­ва­ния. Ана­ло­гич­но пло­щадь тре­уголь­ни­ка CMK равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKM, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKM равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK.

Под­ве­дем итог:

От­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM:

Ответ: 0,6.