Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AMK.
Проведем отрезок MT, параллельный отрезку AP, вспомним, что точка M, — середина AC, следовательно, отрезок MT — средняя линия треугольника APC, значит, CT = TP. Аналогично отрезок KP — средняя линия треугольника BMT, то есть BP = PT.
Пусть площадь треугольника BKP равна S. Рассмотрим треугольник KPC он имеет общую высоту с треугольником BKP и вдвое большее основание, следовательно, его площадь равна 2S. Площадь треугольника BKC равна 3S и такую же площадь имеет треугольник CMK, поскольку они имеют одну высоту, проведенную из вершины C и равные основания. Аналогично площадь треугольника CMK, равна площади треугольника AKM. Подведем итог:
Отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AKM:
Ответ: 