На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. рис.). Ока­за­лось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС  — рав­но­бед­рен­ный.

Вы­со­ты AA₁ и BB₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD углы ABD и ACD равны. До­ка­жи­те, что углы DAC и DBC также равны.

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках E и F пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках C и D, при­чем точки E и F лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD. До­ка­жи­те, что CD ⊥ EF.

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K  — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK  — рав­но­сто­рон­ний.

На сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки D и E так, что  До­ка­жи­те, что если  то  .

На ме­ди­а­не KF тре­уголь­ни­ка MKP от­ме­че­на точка E. До­ка­жи­те, что если  то 

До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы углов при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны.

Два рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну. До­ка­жи­те, что от­ме­чен­ные на ри­сун­ке от­рез­ки AB и CD равны.

Два рав­ных пря­мо­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну O (см. рис.). До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков AOK и COM равны.

До­ка­жи­те, что у рав­ных тре­уголь­ни­ков ABC и бис­сек­три­сы, про­ве­ден­ные из вер­ши­ны и равны.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол равен 36°,   — бис­сек­три­са. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. До­ка­жи­те, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окруж­но­сти.

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB тре­уголь­ни­ка ABC, у ко­то­ро­го ∠C = 90°, и про­дол­же­ний его сто­рон AC и BC за точки A и B со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен диа­мет­ру этой окруж­но­сти.

До­ка­жи­те, что ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка делит его на два тре­уголь­ни­ка, пло­ща­ди ко­то­рых равны между собой.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты и До­ка­жи­те, что углы и равны.