Вы­со­ты AA₁ и BB₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD углы ABD и ACD равны. До­ка­жи­те, что углы DAC и DBC также равны.

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках E и F пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках C и D, при­чем точки E и F лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD. До­ка­жи­те, что CD ⊥ EF.

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K  — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK  — рав­но­сто­рон­ний.

На сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки D и E так, что  До­ка­жи­те, что если  то  .

Два рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну. До­ка­жи­те, что от­ме­чен­ные на ри­сун­ке от­рез­ки AB и CD равны.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты и До­ка­жи­те, что углы и равны.