Построим OA и OC радиусы. Цен­траль­ный угол AOC равен 360°:8 = 45°. Угол ABC — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на ту же дугу, по­это­му он равен 45°:2 = 22,5°.

Ответ: 22,5.

Угол ABC — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на диа­метр AC. Таким образом, ∠ABC = 90°.

Ответ: 90.

Воспользуемся тео­ре­мой косинусов:

(здесь a и b — бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го треугольника, c — основание.

Диаметр опи­сан­ной окруж­но­сти найдем по обобщенной теореме синусов:

Ответ: 8.

Примечание.

Вместо того, чтобы искать основание треугольника, можно было найти угол при основании. Действительно, сумма углов при основании данного равнобедренного треугольника равна 60°. Эти углы равны, поэтому каждый из них равен 30°. Применяя обобщенную теорему синусов для боковой стороны и противолежащего ей угла, получаем:

Сумма углов в треугольнике равна 180°, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, углы при основании равны (180° − 120°)/2 = 30°. По теореме синусов:

Ответ: 10.

Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°. Тре­уголь­ник — равнобедренный, следовательно, Угол — вписанный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опирается. Угол — центральный, по­это­му он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опирается. Углы и опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, следовательно,

Ответ: 3.

Угол ABC — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу ADC, по­это­му величина дуги ADC равна 2 · 70° = 140°. Угол CAD — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу CD, по­это­му величина дуги CD равна 2 · 49° = 98°. Угол ABD — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу AD, по­это­му ∠ABD = ∪AD/2 = (∪ADC − ∪CD)/2 = (140° − 98°)/2 = 21°.

Ответ: 21.

Пусть и со­от­вет­ствен­но радиус и диа­метр окружности, — сто­ро­на квадрата. Сто­ро­на квадрата равна диа­мет­ру вписанной окружности. Найдём пло­щадь квадрата:

Ответ: 196.