По­стро­им ра­ди­у­сы OA и OC. Цен­траль­ный угол AOC равен Угол ABC  — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на ту же дугу, по­это­му он равен

Ответ: 22,5.

Угол ABC  — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на диа­метр AC. Таким об­ра­зом, ∠ABC = 90°.

Ответ: 90.

Углы и DBC опи­ра­ют­ся на одну дугу DC, сле­до­ва­тель­но, они равны. Най­дем угол

Ответ: 54.

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов:

(здесь a и b  — бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, c  — ос­но­ва­ние.

Диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти най­дем по обоб­щен­ной тео­ре­ме си­ну­сов:

Ответ: 8.

При­ме­ча­ние.

Вме­сто того, чтобы ис­кать ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка, можно было найти угол при ос­но­ва­нии. Дей­стви­тель­но, сумма углов при ос­но­ва­нии дан­но­го рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 60°. Эти углы равны, по­это­му каж­дый из них равен 30°. При­ме­няя обоб­щен­ную тео­ре­му си­ну­сов для бо­ко­вой сто­ро­ны и про­ти­во­ле­жа­ще­го ей угла, по­лу­ча­ем:

При­ве­дем ре­ше­ние Ан­дрея Ла­ри­о­но­ва.

Угол при ос­но­ва­нии равен

Сле­до­ва­тель­но, дуга опи­сан­ной окруж­но­сти, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, равна 2 · 30°  =  60°. Эту дугу стя­ги­ва­ет бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка.

Хорда, стя­ги­ва­ю­щая дугу в 60°, равна ра­ди­у­су окруж­но­сти, по­это­му ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен бо­ко­вой сто­ро­не тре­уголь­ни­ка, тогда D  =  2 · 4  =  8.

Угол BOC  — цен­траль­ный, по­это­му он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Угол BAC впи­сан­ный, он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся. По­сколь­ку эти углы опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, ∠BOC  =  2∠BAC. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°. Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, углы при его ос­но­ва­нии равны, по­это­му

Сле­до­ва­тель­но, угол BОC  =  3°.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние.

Одно время это за­да­ние было снаб­же­но ав­тор­ским ри­сун­ком с ост­рым углом В. За­ме­тим, что ри­су­нок не вли­я­ет на спра­вед­ли­вость ре­ше­ния  — за­да­чу можно ре­шить и вовсе без ри­сун­ка.