По­стро­им OA и OC ра­ди­у­сы. Цен­траль­ный угол AOC равен 360°:8 = 45°. Угол ABC — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на ту же дугу, по­это­му он равен 45°:2 = 22,5°.

Ответ: 22,5.

Угол ABC — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на диа­метр AC. Таким об­ра­зом, ∠ABC = 90°.

Ответ: 90.

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов:

(здесь a и b — бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, c — ос­но­ва­ние.

Диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти най­дем по обоб­щен­ной тео­ре­ме си­ну­сов:

Ответ: 8.

При­ме­ча­ние.

Вме­сто того, чтобы ис­кать ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка, можно было найти угол при ос­но­ва­нии. Дей­стви­тель­но, сумма углов при ос­но­ва­нии дан­но­го рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 60°. Эти углы равны, по­это­му каж­дый из них равен 30°. При­ме­няя обоб­щен­ную тео­ре­му си­ну­сов для бо­ко­вой сто­ро­ны и про­ти­во­ле­жа­ще­го ей угла, по­лу­ча­ем:

Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, а углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­нии равны (180° − 120°)/2 = 30°. По тео­ре­ме си­ну­сов:

Ответ: 10.

Угол BOC — цен­траль­ный, по­это­му он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Углы BAC впи­сан­ный, он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся. По­сколь­ку эти углы опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, ∠BOC = 2∠BAC. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°. Тре­уголь­ник ABC — рав­но­бед­рен­ный, углы при его ос­но­ва­нии равны, по­это­му Сле­до­ва­тель­но, угол BОC = 3°.

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель за­ме­тит, что угол В тупой, по­это­му центр окруж­но­сти лежит вне тре­уголь­ни­ка. Оче­вид­но, что это не вли­я­ет на спра­вед­ли­вость вы­ше­при­ве­ден­но­го ре­ше­ния — за­да­чу можно ре­шить и вовсе без ри­сун­ка. По­это­му мы не стали ме­нять тот ри­су­нок, ко­то­рый был дан ав­то­ра­ми за­да­ния.