По­стро­им OA и OC ра­ди­у­сы. Цен­траль­ный угол AOC равен 360°:8 = 45°. Угол ABC — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на ту же дугу, по­это­му он равен 45°:2 = 22,5°.

Ответ: 22,5.

Угол ABC — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на диа­метр AC. Таким об­ра­зом, ∠ABC = 90°.

Ответ: 90.

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов:

(здесь a и b — бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, c — ос­но­ва­ние.

Диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти най­дем по обоб­щен­ной тео­ре­ме си­ну­сов:

Ответ: 8.

При­ме­ча­ние.

Вме­сто того, чтобы ис­кать ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка, можно было найти угол при ос­но­ва­нии. Дей­стви­тель­но, сумма углов при ос­но­ва­нии дан­но­го рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 60°. Эти углы равны, по­это­му каж­дый из них равен 30°. При­ме­няя обоб­щен­ную тео­ре­му си­ну­сов для бо­ко­вой сто­ро­ны и про­ти­во­ле­жа­ще­го ей угла, по­лу­ча­ем:

Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, а углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­нии равны (180° − 120°)/2 = 30°. По тео­ре­ме си­ну­сов:

Ответ: 10.

Угол BOC — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Углы BAC вписанный, он равен половине дуги, на которую он опирается. Поскольку эти углы опираются на одну и ту же дугу, ∠BOC = 2∠BAC. Сумма углов треугольника равна 180°. Треугольник ABC — равнобедренный, углы при его основании равны, поэтому Следовательно, угол BОC = 3°.

Ответ: 3.

Примечание.

Внимательный читатель заметит, что угол В тупой, поэтому центр окружности лежит вне треугольника. Очевидно, что это не влияет на справедливость вышеприведенного решения — задачу можно решить и вовсе без рисунка. Поэтому мы не стали менять тот рисунок, который был дан авторами задания.

Угол ABC — впи­сан­ный, опи­ра­ет­ся на дугу ADC, по­это­му ве­ли­чи­на дуги ADC равна 2 · 70° = 140°. Угол CAD — впи­сан­ный, опи­ра­ет­ся на дугу CD, по­это­му ве­ли­чи­на дуги CD равна 2 · 49° = 98°. Угол ABD — впи­сан­ный, опи­ра­ет­ся на дугу AD, по­это­му ∠ABD = ∪AD/2 = (∪ADC − ∪CD)/2 = (140° − 98°)/2 = 21°.

Ответ: 21.

Пусть и со­от­вет­ствен­но ра­ди­ус и диа­метр окруж­но­сти, — сто­ро­на квад­ра­та. Сто­ро­на квад­ра­та равна диа­мет­ру впи­сан­ной окруж­но­сти. Найдём пло­щадь квад­ра­та:

Ответ: 196.