Пусть ско­рость пешехода, шед­ше­го из пунк­та A, равна км/ч. Тогда ско­рость пешехода, шед­ше­го из пунк­та B, равна км/ч. Время дви­же­ния пе­ше­хо­да из пунк­та A до места встре­чи   ч на пол­ча­са меньше, чем время дви­же­ния дру­го­го пе­ше­хо­да   ч. Со­ста­вим уравнение:   . После пре­об­ра­зо­ва­ния оно при­мет вид:    Корни урав­не­ния 6 и −3. Значит, ско­рость пешехода, шед­ше­го из А, равна 6 км/ч.

Ответ: 6.

Пусть ско­рость пешехода, шед­ше­го из пунк­та A, равна км/ч. Тогда ско­рость ту­ри­ста равна км/ч. Время дви­же­ния пе­ше­хо­да до места встре­чи   ч на пол­ча­са больше, чем время дви­же­ния ту­ри­ста   ч. Со­ста­вим уравнение:   . После пре­об­ра­зо­ва­ния оно при­мет вид:    Корни урав­не­ния 5 и −4. Значит, ско­рость пе­ше­хо­да равна 5 км/ч.

Ответ: 5.

Обозначим ско­рость ( в км/ч) ав­то­мо­би­ля за  , а время (в часах), за ко­то­рое мо­то­цикл про­ез­жа­ет от А до С за  . Тогда имеем  , от­ку­да  . По­сколь­ку весь путь от А до В ав­то­мо­биль пре­одо­лел за время  , получаем:

откуда  . Значит, рас­сто­я­ние от А до С равно   (км).

Ответ: 225 км.

За пер­вые три часа пути автомобиль, вы­ехав­ший из го­ро­да А, про­ехал 150 ки­ло­мет­ров и рас­сто­я­ние от него до города. В стало рав­ным 600 км. Далее, ско­рость сбли­же­ния двух ав­то­мо­би­лей равна 120 км/ч, значит, они встре­тят­ся через 5 часов после вы­ез­да вто­ро­го автомобиля. Таким образом, пер­вый ав­то­мо­биль до встре­чи на­хо­дил­ся в пути 8 часов, и про­ехал за это время 400 километров.

Ответ: 400 км.

За пер­вый час пути автомобиль, вы­ехав­ший из го­ро­да А, про­ехал 55 ки­ло­мет­ров и рас­сто­я­ние от него до го­ро­да В стало рав­ным 435 км. Далее, ско­рость сбли­же­ния двух ав­то­мо­би­лей равна 145 км/ч, значит, они встре­тят­ся через 3 часа после вы­ез­да вто­ро­го автомобиля. Таким образом, пер­вый ав­то­мо­биль до встре­чи на­хо­дил­ся в пути 4 часа, и про­ехал за это время 220 километров.

Ответ: 220 км.

Поезд про­хо­дит через тун­нель за 3 минуты, при этом за одну ми­ну­ту поезд про­хо­дит мимо вы­хо­да из туннеля, следовательно, от входа ло­ко­мо­ти­ва в тун­нель до вы­хо­да про­хо­дит 2 минуты. Мимо стол­ба поезд дли­ной 1 км про­хо­дит за 1 минуту, по­это­му его ско­рость равна 1 км/мин. Значит, за 2 ми­ну­ты поезд прой­дет 2 км, по­это­му длина тун­не­ля равна 2 км.

Ответ: 2.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да — x км/ч, тогда ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна (x + 11) км/ч. Пе­ше­ход прошёл свою часть пути за , а ве­ло­си­пе­дист про­де­лал свой путь за . Эти два вре­ме­ни равны, со­ста­вим уравнение:

Корень −22 не под­хо­дит нам по усло­вию задачи. Ско­рость пе­ше­хо­да равна 5 км/ч.

Ответ: 5 км/ч.

Пусть ско­рость ту­ри­ста — x км/ч, тогда ско­рость пе­ше­хо­да равна (x + 2) км/ч. Пе­ше­ход при­бу­дет к месту встре­чи через , если от­счи­ты­вать время от мо­мен­та на­ча­ла дви­же­ния туриста. А ту­рист про­де­лал свой путь за . Эти два вре­ме­ни равны, со­ста­вим уравнение:

Корень −12 не под­хо­дит нам по усло­вию задачи. Ско­рость ту­ри­ста равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да — x км/ч, тогда ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна (x + 8) км/ч. Пе­ше­ход прошёл свою часть пути за , а ве­ло­си­пе­дист про­де­лал свой путь за . Эти два вре­ме­ни равны, со­ста­вим уравнение:

Корень −40 не под­хо­дит нам по усло­вию задачи. Ско­рость пе­ше­хо­да равна 4 км/ч, сле­до­ва­тель­но, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

Пусть ско­рость пешехода, шед­ше­го из пунк­та A, равна км/ч. Тогда ско­рость ту­ри­ста равна км/ч. Время дви­же­ния пе­ше­хо­да до места встре­чи   ч на пол­ча­са больше, чем время дви­же­ния ту­ри­ста   ч. Со­ста­вим уравнение:   . После пре­об­ра­зо­ва­ния оно при­мет вид:    Корни урав­не­ния 5 и −4. Значит, ско­рость пе­ше­хо­да равна 5 км/ч.

Ответ: 5.

Пусть длина по­ез­да l м . Ско­рость по­ез­да от­но­си­тель­но пе­ше­ход равна 63-3=60 км/ч, или м/с. Следовательно, поезд про­ез­жа­ет мимо иду­ще­го в том же на­прав­ле­нии па­рал­лель­но путям пе­ше­хо­да за l : секунд.

Составим и решим уравнение:

Ответ: 950 м.

Пусть длина по­ез­да l м. Ско­рость по­ез­да от­но­си­тель­но пе­ше­хо­да равна км/ч, или м/c. Следовательно, поезд про­ез­жа­ет мимо иду­ще­го в том же на­прав­ле­нии па­рал­лель­но путям пе­ше­хо­да за l: секунд.

Составим и решим уравнение: ; . Длина по­ез­да со­став­ля­ет 650 м.

Ответ: 650 м.

За то время, пока пер­вый ве­ло­си­пе­дист делал остановку, вто­рой ве­ло­си­пе­дист про­ехал . Всё осталь­ное время они од­но­вре­мен­но на­хо­ди­лись в пути, значит, вто­рой ве­ло­си­пе­дист за это время про­ехал Таким образом, сум­мар­но он про­ехал 84 км.

Ответ: 84 км.

Пусть ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна тогда ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна Время дви­же­ния вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста на 3 часа боль­ше вре­ме­ни дви­же­ния пер­во­го Со­ста­вим урав­не­ние и решим его:

По усло­вию за­да­чи нам под­хо­дят толь­ко по­ло­жи­тель­ные корни, по­это­му ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна

Ответ: 10.

Пусть ско­рость тре­тье­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна v км/ч, а t ч— момент времени, когда он до­гнал вто­ро­го велосипедиста. На­ча­ло отсчёта вре­ме­ни — момент, когда первый ве­ло­си­пе­дист начал движение. Тогда к моменту времени t, когда тре­тий ве­ло­си­пе­дист до­го­нит второго, вто­рой ве­ло­си­пе­дист про­едет рас­сто­я­ние км, а тре­тий — рас­сто­я­ние км. Ана­ло­гич­но: к моменту времени когда тре­тий ве­ло­си­пе­дист до­го­нит первого, пер­вый ве­ло­си­пе­дист про­едет км, а тре­тий, поскольку он был в пути на два часа меньше, проедет км. Со­ста­вим си­сте­му уравнений:

Умножим пер­вое урав­не­ние на а вто­рое — на и вы­чтем пер­вое урав­не­ние из второго:

По усло­вию за­да­чи под­хо­дит толь­ко по­ло­жи­тель­ный корень, то есть Под­став­ляя t во вто­рое урав­не­ние, найдём искомую скорость:

Ответ: 24 км/ч.

Пусть — рас­сто­я­ние между A и В, км/ч — ско­рость пер­во­го автомобилиста, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ли­ста на пер­вой по­ло­ви­не пути,. Пер­вый ав­то­мо­би­лист про­де­лал весь путь за часов, а вто­рой за часов. Время, за ко­то­рое они про­еха­ли весь путь от A до B одинаково, следовательно, можно со­ста­вить уравнение:

По усло­вию за­да­чи ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста боль­ше 40 км/ч, следовательно, ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста равна 44 км/ч.

Ответ: 44.

Пусть — ско­рость мотоциклиста, — ско­рость велосипедиста. При­мем рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми за единицу. Мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист встре­ти­лись через 15 минут, то есть через часа, после выезда, по­это­му Мо­то­цик­лист при­был в B на 40 минут раньше, чем ве­ло­си­пе­дист в А, от­ку­да По­лу­ча­ем си­сте­му уравнений:

Скорость мо­то­цик­ли­ста не может быть отрицательной, по­это­му ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна 1, а время, за­тра­чен­ное на весь путь равно од­но­му часу.

Ответ: 1.

Средняя скорость, это от­но­ше­ние прой­ден­но­го пути ко времени, за ко­то­рый прой­ден этот путь. За пер­вые 5 часов ав­то­мо­биль про­ехал 5 · 60 = 300 км, за сле­ду­ю­щие три часа — 3 · 100 = 300 км и за по­след­ние 4 часа — 4 · 75 = 300 км. Весь путь со­ста­вил 300 + 300 + 300 = 900 км, а сум­мар­ное время дви­же­ния — 5 + 3 + 4 = 12 часов, от­ку­да сред­няя ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути 900/12 = 75 км/ч.

Ответ: 75.

Пусть — ско­рость мотоциклиста, — ско­рость велосипедиста. При­мем рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми за единицу. Мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист встре­ти­лись через 18 минут, то есть через часа, после выезда, по­это­му Мо­то­цик­лист при­был в B на 48 минут раньше, чем ве­ло­си­пе­дист в А, от­ку­да По­лу­ча­ем си­сте­му уравнений:

Скорость мо­то­цик­ли­ста не может быть отрицательной, по­это­му ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна , а время, за­тра­чен­ное на весь путь равно 1,2 ч.

Ответ: 1,2.

Пусть км — расстояние, ко­то­рое про­ехал пер­вый ве­ло­си­пе­дист до места встречи, тогда км — расстояние, ко­то­рое про­ехал вто­рой ве­ло­си­пе­дист до места встречи. К мо­мен­ту встре­чи пер­вый ве­ло­си­пе­дист на­хо­дил­ся в пути часов, а вто­рой — часов. Эти ве­ли­чи­ны равны, со­ста­вим уравнение:

Таким образом, вто­рой ве­ло­си­пе­дист про­ехал 82 − 56 = 26 км до места встречи.

Ответ: 26.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го бегуна, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го бегуна. Из усло­вия известно, что вто­рой бегун про­бе­жал круг за часа, при этом через час после стар­та пер­во­му бе­гу­ну оста­вал­ся 1 км до окон­ча­ния пер­во­го круга, со­ста­вим уравнение:

Таким образом, ско­рость пер­во­го бе­гу­на равна 13 км/ч.

Ответ: 13.

Средняя ско­рость — это расстояние, разделённое на время движения. Пер­вый от­ре­зок пути ав­то­мо­биль про­ехал за 300/60 = 5 часов, вто­рой — за 300/100 = 3 часа, тре­тий — за 300/75 = 4 часа. Сред­няя ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути со­ста­ви­ла

Ответ: 75.

Пусть — со­от­вет­ствен­но ско­ро­сти ав­то­мо­би­ли­ста и мотоциклиста, — рас­сто­я­ние со­от­вет­ствен­но между пунк­та­ми и и между пунк­та­ми и — время за ко­то­рое мо­то­цик­лист до­го­нит автомобилиста, — время, за ко­то­рое ав­то­мо­би­лист до­едет из пунк­та C и пункт B — время, через ко­то­рое мо­то­цик­лист вы­ез­жа­ет за автомобилем. Ав­то­мо­би­лист до­едет до пунк­та за время значит, он про­едет рас­сто­я­ние До пунк­та B он доберётся за время Мо­то­цик­лист пре­одо­ле­ет рас­сто­я­ние a за время а по­ло­ви­ну рас­сто­я­ния от А до С за время По­лу­ча­ем си­сте­му уравнений:

Из пер­во­го и четвёртого уравнений: Из пер­во­го уравнения: Из тре­тье­го уравнения: Под­став­ляя по­лу­чен­ные со­от­но­ше­ния во вто­рое уравнение, получаем:

По усло­вию за­да­чи под­хо­дит толь­ко по­ло­жи­тель­ный корень, следовательно, рас­сто­я­ние между пунк­та­ми A и С равно 100 км.

Ответ: 100.

Средняя ско­рость — это от­но­ше­ние прой­ден­но­го пути к вре­ме­ни движения. Пусть весь путь со­став­ля­ет км, тогда первую половину пути ав­то­мо­биль про­ехал за часов, а вто­рую — за часов. Сред­няя ско­рость ав­то­мо­би­ля равна:

Ответ: 61,6.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го автомобиля, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го автомобиля. Пер­вый ав­то­мо­биль при­был к фи­ни­шу на 1 час быст­рее второго, откуда:

Корень −60 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 80 км/ч.

Ответ: 80.

Пусть км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В, тогда км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста из В в А. На путь туда и об­рат­но ве­ло­си­пе­лист за­тра­тил оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство времени, при этом, сде­лав оста­нов­ку на 3 часа по пути из В в А, откуда:

Корень −20 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В равна 10 км/ч.

Ответ: 10.

Пусть — ско­рость реки, тогда — ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде, — рас­сто­я­ние от А до места встречи, — расстояние, ко­то­рое пройдёт плот от места встре­чи до мо­мен­та воз­вра­ще­ния ка­те­ра в В. При­мем рас­сто­я­ние между А и В за единицу. К месту встре­чи плот и катер при­бы­ли одновременно, от­ку­да За то время, пока катер пре­одо­ле­ет рас­сто­я­ние плот пре­одо­ле­ет рас­сто­я­ние от­ку­да По­лу­ча­ем си­сте­му уравнений:

Плот за всё время дви­же­ния прошёл рас­сто­я­ние По­сколь­ку всё рас­сто­я­ние между А и В мы при­ня­ли рав­ным единице, плот пройдёт 0,4 пути из А в В к мо­мен­ту воз­вра­ще­ния ка­те­ра в пункт В.

Пусть скорость, с ко­то­рой ту­рист спускался, равна х км/час, тогда его ско­рость на подъёме равна х − 3 км/ч, длина спус­ка равна 2х км, длина подъёма равна 2(х − 3) км. По­сколь­ку весь путь равен 14 км, имеем: 2х + 2(х − 3) = 14, от­ку­да х = 5 км/ч.

Ответ: 5.

Второй че­ло­век придёт на опуш­ку через часа. За это время пер­вый пройдёт км, следовательно, до опуш­ки ему оста­нет­ся прой­ти 4 − 2,4 = 1,6 км. Те­перь вто­рой пут­ник идёт нав­стре­чу пер­во­му и их встре­ча произойдёт через часа. За это время пер­вый че­ло­век успе­ет прой­ти ещё км. Таким образом, он пройдёт от точки от­прав­ле­ния 2,4 + 0,6 = 3 км.

Ответ: 3.

Скорость сбли­же­ния пешехода и по­ез­да равна 86 − 6 = 80 км/ч. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина по­ез­да в мет­рах равна

Ответ: 400 м.

Скорость сбли­же­ния пешехода и по­ез­да равна 44 − 4 = 40 км/ч. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина по­ез­да в мет­рах равна

Ответ: 900 м.

Пусть — рас­сто­я­ние между A и В, км/ч — ско­рость пер­во­го автомобилиста, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ли­ста на второй по­ло­ви­не пути. Пер­вый ав­то­мо­би­лист про­де­лал весь путь за часов, а вто­рой за часов. Время, за ко­то­рое они про­еха­ли весь путь от A до B одинаково, следовательно, можно со­ста­вить уравнение:

По условию задачи скорость автомобиля не может быть отрицательной, следовательно, скорость равна 36 км/ч

Ответ: 36.

Пусть — рас­сто­я­ние между A и В, км/ч — ско­рость пер­во­го автомобилиста, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ли­ста на второй по­ло­ви­не пути. Пер­вый ав­то­мо­би­лист про­де­лал весь путь за часов, а вто­рой за часов. Время, за ко­то­рое они про­еха­ли весь путь от A до B одинаково, следовательно, можно со­ста­вить уравнение:

По условию задачи скорость автомобиля не может быть отрицательной, следовательно, скорость равна 76 км/ч

Ответ: 76.

Пусть — ско­рость мотоциклиста, — ско­рость велосипедиста. При­мем рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми за единицу. Мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист встре­ти­лись через 22 минуты, то есть через часа, после выезда, по­это­му Мо­то­цик­лист при­был в B на 33 минуты раньше, чем ве­ло­си­пе­дист в А, от­ку­да По­лу­ча­ем си­сте­му уравнений:

Скорость мо­то­цик­ли­ста не может быть отрицательной, по­это­му ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна , а время, за­тра­чен­ное на весь путь равно

Ответ: 1,1.

Пусть км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В, тогда км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста из В в А. На путь туда и об­рат­но ве­ло­си­пе­лист за­тра­тил оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство времени, при этом, сде­лав оста­нов­ку на 6 часов по пути из В в А, откуда:

Корень −25 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В равна 10 км/ч.

Ответ: 10.

Пусть скорость, с ко­то­рой ту­рист спускался, равна х км/час, тогда его ско­рость на подъёме равна х − 1 км/ч, длина спус­ка равна 3х км, длина подъёма равна 5(х − 1) км. По­сколь­ку весь путь равен 27 км, имеем: 3х + 5(х − 1) = 27, от­ку­да х = 4 км/ч.

Ответ: 4.

Обозначим ско­рость ( в км/ч) ав­то­мо­би­ля за v, а время (в часах), за ко­то­рое мо­то­цикл про­ез­жа­ет от А до С за t. Тогда имеем, от­ку­да  . По­сколь­ку весь путь от А до В ав­то­мо­биль пре­одо­лел за время  , получаем:

откуда  . Значит, рас­сто­я­ние от А до С равно   (км).

Ответ: 90 км.

Пусть ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна тогда ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна Время дви­же­ния вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста на 3 часа боль­ше вре­ме­ни дви­же­ния пер­во­го Со­ста­вим урав­не­ние и решим его:

По усло­вию за­да­чи нам под­хо­дят толь­ко по­ло­жи­тель­ные корни, по­это­му ско­рость вто­ро­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна , а первого -

Ответ: 20.

Пусть ско­рость тре­тье­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна v км/ч, а t ч— момент времени, когда он до­гнал вто­ро­го велосипедиста. На­ча­ло отсчёта вре­ме­ни — момент, когда первый ве­ло­си­пе­дист начал движение. Тогда к моменту времени t, когда тре­тий ве­ло­си­пе­дист до­го­нит второго, вто­рой ве­ло­си­пе­дист про­едет рас­сто­я­ние км, а тре­тий — рас­сто­я­ние км. Ана­ло­гич­но: к моменту времени когда тре­тий ве­ло­си­пе­дист до­го­нит первого, пер­вый ве­ло­си­пе­дист про­едет км, а тре­тий, поскольку он был в пути на два часа меньше, проедет км. Со­ста­вим си­сте­му уравнений:

Умножим пер­вое урав­не­ние на а вто­рое — на и вы­чтем пер­вое урав­не­ние из второго:

По усло­вию за­да­чи под­хо­дит толь­ко по­ло­жи­тель­ный корень, то есть Под­став­ляя t во вто­рое урав­не­ние, найдём искомую скорость:

Ответ: 25 км/ч.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го бегуна, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го бегуна. Из усло­вия известно, что вто­рой бегун про­бе­жал круг за часа, при этом через час после стар­та пер­во­му бе­гу­ну оста­вал­ся 1 км до окон­ча­ния пер­во­го круга, со­ста­вим уравнение:

Таким образом, ско­рость пер­во­го бе­гу­на равна 14 км/ч.

Ответ: 14.

Второй че­ло­век придёт на опуш­ку через часа. За это время пер­вый пройдёт км, следовательно, до опуш­ки ему оста­нет­ся прой­ти км. Те­перь вто­рой пут­ник идёт нав­стре­чу пер­во­му и их встре­ча произойдёт через часа. За это время пер­вый че­ло­век успе­ет прой­ти ещё км. Таким образом, он пройдёт от точки от­прав­ле­ния км.

Ответ: 3,3.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го автомобиля, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го автомобиля. Пер­вый ав­то­мо­биль при­был к фи­ни­шу на 2 часа быст­рее второго, откуда:

Корень −60 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 84 км/ч.

Ответ: 84.

Пусть длина по­ез­да l м . Ско­рость по­ез­да от­но­си­тель­но пе­ше­ход равна 141-6=135 км/ч, или м/с. Следовательно, поезд про­ез­жа­ет мимо иду­ще­го в том же на­прав­ле­нии па­рал­лель­но путям пе­ше­хо­да за l : 37,5 секунд.

Составим и решим уравнение:

Ответ: 300 м.