PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причем точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.
Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причем точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что AB перпендикулярна IJ.
Окружности с центрами в точках P и 
не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причем точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.
Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы 
равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда 
Стороны AJ и BJ равны как радиусы окружности, поэтому треугольник ABJ — равнобедренный, следовательно, медиана JK является также высотой. Проведем медиану IM. Стороны AI и BI равны как радиусы окружности, поэтому треугольник ABI — равнобедренный, следовательно, медиана IM является также высотой. Прямые JK и IM перпендикулярны одной и той же прямой AB, следовательно, они параллельны. Эти прямые проходят через одну и ту же точку M, значит, они совпадают. Таким образом, прямая AB перпендикулярна прямой IJ.
Рассмотрим треугольники PKM и QKN, они прямоугольные, углы PKM и NKQ равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда 
Отношение радиусов равно отношению диаметров.